恰萨尔十四面体

恰萨尔十四面体是一种可以对应到拓扑环面的非凸多面体，由阿科斯·恰萨尔于1949年发现。这个多面体中间有一个孔洞，由14个不等边三角形面组成。特别地，这个多面体不存在对角线，也就是说任两个顶点之间所形成的线段都位于其表面边界上，同时，其也对应到七的顶点的完全图。

恰萨尔十四面体

类别	环形多面体
对偶多面体	希洛西七面体
性质
面	14
边	21
顶点	7
欧拉特征数	F=14, E=21, V=7 （χ=0）
亏格	1
组成与布局
面的种类	2个等边三角形 2个等腰三角形 10个钝角三角形
面的布局	3.3.3.3.3.3
对称性
对称群	C1, [ ]+, (11)
特性
非凸
图像
希洛西七面体 （对偶多面体） （展开图）

性质

动画展示了恰萨尔十四面体结构以及展开为展开图的过程

恰萨尔十四面体的正交投影图。 在其SVG图像中可用鼠标转动以便观察整个模型

恰萨尔十四面体由14个面、21条边和7个顶点组成。在这七个顶点中，每个顶点都是6个三角形的公共顶点，其可以分成3组和一个单独的顶点，三组两两相等，与其对偶多面体——希洛西七面体的面对应。在其14个面中，有2个等边三角形、2个等腰三角形和10个钝角三角形。

完全图

恰萨尔十四面体是一种不存在对角线的流形多面体结构。也就是说，对恰萨尔十四面体的所有顶点而言，任意两个顶点间皆有一条边连接，因此这个多面体不存在任何不在边界上且连接两个顶点的线段。这种性质目前已知仅有正四面体和恰萨尔十四面体拥有。这种性质在图论中称为完全图，也就是说恰萨尔十四面体可以对应到七个顶点的完全图。

若一个在一个有h个孔洞的环面构建一个边界包含v个顶点的多面体，且所有顶点中任两个顶点间都有边相连，则其部分的欧拉特征数会具有以下关系：

$$h={\frac {(v-3)(v-4)}{12}}.$$

对于零个孔、四个顶点（h=0、v=4）的四面体和1个孔、7个顶点（h=1、v=7）的恰萨尔十四面体都满足这个方程。下一个可能的整数解是6个孔、12个顶点（h=6、v=12）具有44个面和66个条边的多面体。然而目前并不知道是否存在实体的多面体满足这个特性，而非仅能以抽象多面体的方式存在。更无法确定这样的多面体是否能在更高亏格的环面下存在。更一般地，当v除以12余0、3、4或7时，上述等式给出的h值皆为整数。

顶点座标

恰萨尔十四面体的最短边长为${\tfrac {\sqrt {1238}}{6}}\approx 5.8642$单位长，且几何中心位于原点时，此时7顶点的座标分别为：

$\left(\pm 12,\,0,\,-6{\sqrt {2}}\right)$、$\left(0,\,\pm 12,\,6{\sqrt {2}}\right)$、$\left(-4,\,-3,\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$、$\left(4,\,3,\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$、$\left(0,\,0,\,{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}\right)$。

其中，有正负号者代表两个顶点。在这样的顶点配置下，恰萨尔十四面体21条边中共有8个不同的边长，分别为：${\frac {\sqrt {1238}}{6}}$（两条边）、10、${\frac {3{\sqrt {70}}}{2}}$（四条边）、${\frac {2{\sqrt {374}}}{3}}$（两条边）、${\frac {2{\sqrt {662}}}{3}}$（两条边）、${\frac {3{\sqrt {134}}}{2}}$（两条边）、${\frac {\sqrt {1938}}{2}}$（两条边）、24（六条边）。

体积与表面积

若一恰萨尔十四面体最短边长为单位长，则其体积约为8.50517立方单位、表面积$A$为：

$A={\frac {6{\sqrt {3}}+6{\sqrt {38}}+2{\sqrt {101}}+3{\sqrt {602}}+{\sqrt {713}}+{\sqrt {755}}+3{\sqrt {878}}}{6}}\approx 47.3597$平方单位

用途

恰萨尔十四面体对应的图和其对偶图可以用来查找斯坦纳三元系统（Steiner triple systems）。

参见

• 希洛西七面体