扭歪无限面体

在几何学中，扭歪无限面体（英语：Skew apeirohedron）是一种顶点并非全部共面的无限面体，存在非平面的面或非平面的顶点图，并保持图形不折回形成封闭区间而无限延伸。其也可以看作是面数无法被穷尽的扭歪多面体。由于该多面体所形成的空间有如海绵般有很多孔洞，因此又称为海绵多面体。

一种由瓦茨曼、伯特和克雷曼发现的扭歪无限面体，由于其像海绵一样有许多孔洞，因此又称为海绵多面体。

正扭歪无限面体

主条目：正扭歪无限面体

关于考克斯特，1926年时，约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形（非平面多边形）的概念推广到四维空间的扭歪多面体和三维空间的正扭歪无限面体。

考克斯特和皮特里发现了三种三维空间的正扭歪无限面体：

扭歪无限面体
{4,6|4} 多立方体 四角六片四角孔扭歪无限面体	{6,4|4} 多八面体 六角四片四角孔扭歪无限面体	{6,6|3} 多四面体 六角六片三角孔扭歪无限面体

戈特的扭歪无限面体

约翰·理查德·戈特在1976年时发表了一个较大的扭歪无限面体系列，该系列共有七种不同的扭歪无限面体，其中也包括了考克斯特和皮特里发现的那三种：{4,6}、{6,4}和{6,6}，另外还多了四种{5,5}、{4,5}、{3,8}、{3,10}。

{p,q}	胞	顶点附近的面	图像	空间群			相关的 H2 轨形 记号
				立方 空间群	考克斯特 记号	纤维流形 记号
{4,5}	立方体			Im3m	$\left[\left[4,3,4\right]\right]$	8o:2	*4222
{4,5}	截角八面体			I3	$\left[\left[4,3^{+},4\right]\right]$	80:2	2*42
{3,7}	正二十面体			Fd3	$\left[\left[3^{\left[4\right]}\right]\right]^{+}$	2o−	3222
{3,8}	正八面体			Fd3m	$\left[\left[3^{\left[4\right]}\right]\right]$	2+:2	2*32
{3,8}	扭棱立方体			Fm3m	$\left[4,{\left(3,4\right)}^{+}\right]$	2−−	32*
{3,9}	正二十面体			I3	$\left[\left[4,3^{+},4\right]\right]$	80:2	22*2
{3,12}	正八面体			Im3m	$\left[\left[4,3,4\right]\right]$	8o:2	2*32

半正扭歪无限面体

亦存在其他的半正或均匀（点可递）的扭歪无限面体。瓦茨曼、伯特和克雷曼发现了许多例子，但他们不知道他们列出的列表是否完整。

半正扭歪无限面体与其相关堆砌

4.4.6.6		6.6.8.8
与大斜方截半立方体堆砌相关，		与施莱夫利符号为h2,3{4,3,4}的几何图形相关，
4.4.4.6	4.8.4.8	3.3.3.3.3.3.3
与大斜方截角立方体堆砌相关，
4.4.4.6	4.4.4.8	3.4.4.4.4
		与小斜方截半正方体堆砌相关，

柱体形半正扭歪无限面体与其相关堆砌

4.4.4.4.4	4.4.4.6
与相关	与相关

一种半正的曲面的几何结构	堆叠立方体

参见

• 扭歪多面体
• 正扭歪无限面体

参考文献

1. Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
2. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
   • (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
3. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 23, Objects with prime symmetry, pseudo-platonic polyhedra, p340-344)
4. Schulte, Egon, Chiral polyhedra in ordinary space. I, Discrete and Computational Geometry, 2004, 32 (1): 55–99, MR 2060817, doi:10.1007/s00454-004-0843-x . [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
5. A. F. Wells, Three-Dimensional Nets and Polyhedra, Wiley, 1977. [3]
6. E. Schulte, J.M. Wills On Coxeter's regular skew polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Discrete Mathematics, Volume 60, June–July 1986, Pages 253–262

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Honeycombs and sponges. MathWorld. 
• "Hyperbolic" Tessellations
• Infinite Regular Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） [4] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Infinite Repeating Polyhedra - Partial Honeycombs in 3-Space （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 18 SYMMETRY OF POLYTOPES AND POLYHEDRA, Egon Schulte: 18.3 REGULAR SKEW POLYHEDRA
• Infinite Polyhedra, T.E. Dorozinski