正二十面体

正多面體

正二十面体是一种正多面体,由20正三角形组成。同时,它也是柏拉图立体三角面多面体以及康威多面体。正二十面体是所有五种正多面体面数最多的。

正二十面体
正二十面体
(按这里观看旋转模型)
类别正多面体
对偶多面体正十二面体
识别
名称正二十面体
参考索引U22, C25, W4
数学表示法
施莱夫利符号{3,5} and
性质
20
30
顶点12
欧拉特征数F=20, E=30, V=12 (χ=2)
二面角138.189685°
组成与布局
面的种类正三角形
面的布局
英语Face configuration
20{3}
顶点图3.3.3.3.3
对称性
对称群5
特性
三角面多面体
图像
Icosahedron vertfig.png
3.3.3.3.3
顶点图
Icosahedron flat.svg
(展开图)

正二十面体有203012顶点,其对偶正十二面体。它的顶点布局英语Vertex_configuration为3.3.3.3.3或35,在施莱夫利符号中可用{3,5}来表示。

与正十二面体的关系编辑

在平面上,正多边形内接到时,数越多,占圆面积的百分比就越高;而在三维空间中,这个规则却不可推广——当正十二面体和正二十面体内接到一个时,前者约占66.4909%,后者仅占60.5461%。

 
正十二面体是正二十面体的对偶多面体

外接球与内切球编辑

若有一个边长为a的正二十面体,则它的外接球(同时过该正二十面体所有顶点的球)的半径为:

  A019881

则有内切球(同时和该正二十面体所有面相切的球)的半径为:

  A179294

另外,若有一个球同时过该正二十面体所有边的中点,那它的半径为:

  A019863

其中φ (也称作τ)为黄金比例

体积与表面积编辑

若用A表示表面积V表示体积,而a是正二十面体的边长,则有:

  A010527
  A102208

后者F=20约为正四面体的20倍,因为20面体以外接球球心为中心可以切割出20个四面体,其中的四面体的体积是底面积的三分之一倍,ri是高的 √3a2/4倍。

的外接球体的体积填充率是:

 

直角坐标系编辑

 
正二十面体的顶点能共同分成五组,每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形。

直角坐标系中,一个边长为二、重心在原点的正二十面体的坐标分别为:[1]

(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
φ, 0, ±1)

其中φ = 1 + 5/2黄金比例(或记为τ)。值得注意的是,这些顶点能共同形成五组,每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形,其形成博罗梅安环英语Borromean rings,其中,前者是因为正二十面体与黄金比例有密切的关系。 如果原始的二十面体的边长为1,那么它的对偶——正十二面体的边长就是5 − 1/2,正好是一个黄金比例

 
一个由塑胶棒和磁铁金属球连接的正二十面体模型

12条边的一个正八面体可以被细分在黄金比例,使所得到的顶点可构成一个正二十面体。这首先要使沿着八面体边的向量连成一个有界的环,再沿着向量的方向以黄金比例作分割。

球面坐标编辑

正二十面体是一个D5d二面体对称对称的一个双五角锥反角柱,且顶点可以定义在球面坐标系上,其中两个顶点在球的两极,其余在纬度±arctan(1/2)的位置。可以发现剩余的10顶点属于反棱柱对称,从一个定点,经度每36°做一次极轴与赤道镜射,直到回到原始点。

与黄金分割的关系编辑

若以正二十面体的中心为原点,各顶点的坐标分别为{(0,±1,±Φ), (±1,±Φ,0), (±Φ,0,±1)},在此Φ = 5 − 1/2,即黄金分割数。因此,这些顶点能共同形成五组,每组拥有三个同心、相互垂直的黄金矩形

正交投影编辑

正二十面体有3种特殊的正交投影,分别正对着一个面、一条棱、一个顶点。

正交投影
正对于 顶点
考克斯特平面英语Coxeter plane A2 A3 H3
图像      
投影
对称性
[6] [2] [10]
图像  
面法线
 
棱法线
 
对角线

其它事实编辑

  • 正二十面体有43,380种不同的展开图
  • 若要将正二十面体的表面涂色而相邻的面的颜色不同,则至少需要3种颜色。
  • 内接与同一球的正二十面体和正十二面体,正二十面体所占球的体积(60.54%)要小于正十二面体所占的体积(66.49%)。

通过一系列等夹角线段构造正二十面体编辑

 
正二十面体
H3考克斯特平面
 
六维正轴体英语6-orthoplex
D6考克斯特平面
这个操作可以以几何的观点被看作六维正轴体的12个顶点投影到三维空间。这代表着一个D6到H3考克斯特群几何折叠英语Coxeter–Dynkin diagram#Geometric_folding 

见这些二维考克斯特平面英语Coxeter plane正交投影,中间投影后重合的两个顶点给出了这个图像中的第三根轴

以下构建正二十面体的方法避免了使用更基础的方法时必要的在数域 中的复杂计算。
正二十面体的存在性依赖于 中6条等夹角线的存在性。事实上,我们很容易便可以发现,这样一组等夹角线与欧几里得空间中的球心在等夹角线所共的交点的球相交,得出的交点即是一个正二十面体的12个顶点。从相反方向考虑,假设这里存在一个正二十面体,它的6对相对顶点的连线(对角线)就形成了那样一个等夹角线系统。
为了构建这样一个等夹角线系统,我们开始于一个6×6方形矩阵

 

通过直接的计算,我们可以得出A2=5I(在这里I是6×6单位矩阵)。这表明矩阵I特征值是√5和-√5,并且它们的复杂性都是3,因为A是对称的,并且它的是0。
矩阵 商空间 中引出了一个同构 欧几里得结构因为它的 是三的。在 中,它的六条坐标轴线 投影 下的图像形成了这样一个在 中由六条等夹角线组成的系统,它们都相交于一点,两两之间都夹着锐角 。±v1,...,±v6A的√5-特征空间正交投影形成了正二十面体的12个顶点。
正二十面体另一个直接的构造用到了交错群A5群表示论方法,它直接利用了正二十面体的等距同构

半正涂色和子对称群编辑

 
正二十面体作为扭棱四面体,可以通过旋转正四面体的正三角形面,并在4个顶点处插入新的三角形,在原来的6条棱处插入新的一对三角形来构造

作为正多面体之一,正二十面体拥有较高的对称性,它的所有面在几何上都是相同的,不可区分的。可是我们也可以想象将正二十面体的面“涂上”不同的“颜色”,使它其的不同面拥有不同的“几何意义”,使其拥有不同的次级对称性。正二十面体有三种不同的半正涂色方法,可以按照一个顶点引出的5个面的涂色来标记为11213、11212、11111。正二十面体可以被描述为扭棱英语Snub (Geometry)正四面体,具有手征性正四面体对称性英语tetrahedral symmetry;它亦可以被描述成交错截顶正八面体,有五角十二面体对称性英语pyritohedral symmetry。这个具有五角十二面体对称的正二十面体也被叫做伪二十面体五角十二面体的对偶。

名称 正二十面体 交错
截角八面体
扭棱英语Snub (Geometry)
正四面体
正五
双锥反柱体
考克斯特-迪肯英语Coxeter-Dynkin diagram                  
施莱夫利符号 {3,5} h0,1{3,4} s{3,3}
Wythoff符号英语Wythoff symbol 5 | 3 2 | 3 3 2
对称性英语List of spherical symmetry groups Ih
[5,3]
(*532)
Th
[3+,4]
(3*2)
T
[3,3]+
(332)
D5d
[2+,10]
(2*5)
对称群阶 60 24 12 10
半正涂色  
(11111)
 
(11212)
 
(11213)
 
(11122)&(22222)

与其它几何图形的关系编辑

正二十面体是正二十面体家族的一员:

正二十面体家族半正多面体
对称群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
                                               
               
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

作为扭棱正四面体和交错截顶正八面体,正二十面体也是正四面体家族和正八面体家族的一员:

正四面体家族半正多面体
对称性: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
                                               
               
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3
半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
                                                           
                   
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
                                                           
                   
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

正二十面体在拓扑上与其它一系列的正三角形镶嵌{3,n}和一系列的五阶正镶嵌{n,5}相关联:

多面体 欧式镶嵌 双曲镶嵌
 
{3,2}
 
{3,3}
 
{3,4}
 
{3,5}
 
{3,6}
 
{3,7}
 
{3,8}
 
{3,9}
...  
{3,∞)
球面镶嵌 双曲面镶嵌
 
{2,5}
     
 
{3,5}
     
 
{4,5}
     
 
{5,5}
     
 
{6,5}
     
 
{7,5}
     
 
{8,5}
     
...  
{∞,5}
     

正二十面体和三个星形正多面体有着相同的顶点排布。其中与大十二面体还有相同的棱排布:

图像  
大十二面体
 
小星形十二面体
 
大二十面体
考克斯特-迪肯符号英语Coxeter-Dynkin diagram                        

虽然由于正二十面体的二面角太大(约138.189685°>120°),因此正二十面体不可能密铺三维欧几里得空间,但它可以密铺适当的双曲空间,称为三阶正二十面体堆砌英语Icosahedral honeycomb,每条棱处有三个正二十面体相交,每个顶点处有12个正二十面体相交,应此顶点图正十二面体施莱夫利符号{3,5,3},是四个三维双曲空间中的正堆砌之一。

 
这里我们用庞加莱圆盘模型上的线架来表示它,中心的正二十面体被涂上了颜色。
类别 柏拉图立体 卡塔兰立体
种子  
{3,3}
 
{4,3}
 
{3,4}
 
{5,3}
 
{3,5}
 
aC
 
aD
倒角  
cT
 
cC
 
cO英语Chamfered octahedron
 
cD
 
cI
 
caC
 
caD

应用编辑

 
电子显微镜下观察的原子
 
γ-硼的结构

由于正二十面体非常均匀,且有20个面,因此适合作成骰子。

在生物学中编辑

 
噬菌体

某些病毒,如疱疹病毒科诺罗病毒噬菌体,拥有正二十面体的衣壳[2][3]在有些细菌中还发现具有二十面体形状的各种细菌胞器[4]二十面体的壳包住和不稳定的中间产物,该壳由具BMC结构域英语BMC domain的不同蛋白质构成。

1904年,恩斯特·海克尔发表了一些放射虫的种类,包括Circogonia二十面体(Circogonia icosahedra),其骨架的形状像一个正二十面体。

参考文献编辑

  1. ^ 埃里克·韦斯坦因. Icosahedral group. MathWorld. 
  2. ^ C. Michael Hogan. 2010. Virus. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment页面存档备份,存于互联网档案馆). eds. S. Draggan and C. Cleveland
  3. ^ 存档副本. [2005-06-25]. (原始内容存档于2006-03-25). 
  4. ^ Bobik, T.A., Bacterial Microcompartments, Microbe (Am. Soc. Microbiol.), 2007, 2: 25–31, (原始内容存档于2013-07-29) 

外部链接编辑