拉格朗日点

关于1991年电子游戏，请见“拉格朗日点 (游戏)”。

拉格朗日点（Lagrangian point）又称平动点（libration points）在天体力学中是限制性三体问题的五个特殊解（particular solution）。就平面圆型三体问题，1767年数学家欧拉根据旋转的二体引力场推算出其中三个点为L₁、L₂、L₃，1772年数学家拉格朗日推算出另外两个点（特解）为L₄、L₅。例如，两个天体环绕运行，在空间中有五个位置可以放入第三个物体（质量忽略不计），使其与另两个天体的相对位置保持不变。理想状态下，两个同轨道物体以相同的周期旋转，两个天体的万有引力在拉格朗日点平衡，使得第三个物体与前两个物体相对静止。

绿色的点表示第三个物体与前两个物体保持相对静止的拉格朗日点。 例如黄色圆型为太阳，蓝色点为地球，动画中为约略位置，详细位置与轨道需考虑质量比例和质心而稍异于动画位置。 在拉格朗日点之外的其他位置，引力将牵引第三个物体进入不稳定的轨道。

两个天体于旋转座标系离心假想力场与重力场形成的2维位能场大小（灰色高度为位能场数值）对于拉格朗日点的视觉化说明，紫色线条为2为平面上的等位能面，因为第三个物体感受的重力方向为位能梯度方向，因此可看出五个位能梯度为０处，并且可以看出该等点于不同方向上是否稳定,此动画也标示出了绕质心旋转之情形
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位置

五个拉格朗日点之定义及位置如下：

L₁

在M₁和M₂两个大天体的连线上，且在它们之间。

${\frac {M_{1}}{\left(R-r\right)^{2}}}={\frac {M_{2}}{r^{2}}}+{\frac {M_{1}}{R^{2}}}-{\frac {r\left(M_{1}+M_{2}\right)}{R^{3}}}$

其中：r 表示 L₁ 与较小的物体之间的距离，R 表示两个主要物体之间的距离，M₁ 和 M₂ 分别表示较大物体和较小物体的质量。

求解 r 需要求解五次方程，但是当小物体的质量（M₂）远小于大物体的质量（M₁）时，L₁和L₂近似于希尔球的半径，求解如下：

$r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}$

例如一个围绕太阳旋转的物体，它距太阳的距离越近，它的轨道周期就越短。但是这忽略地球的万有引力对其产生的拉力的影响。如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力，因此增加这个物体的轨道周期。物体距地球越近，这种影响就越大。在L₁点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。

太阳及日光层探测仪（SOHO）即在日-地系统的L₁点上运行。嫦娥五号的轨道器由于原登月任务完成后仍有充足的燃料，所以安排拓展任务，飞进到日-地系统的L1点进行进一步的太阳探测任务。

L₂

在两个大天体的连线上，且在较小的天体一侧。

${\frac {M_{1}}{\left(R+r\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}={\frac {M_{1}}{R^{2}}}+{\frac {r\left(M_{1}+M_{2}\right)}{R^{3}}}$

同样的，当小物体的质量（M₂）远小于大物体的质量（M₁）时：

$r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}$

日地系统的L₂在地球远离太阳的一侧。一般来讲，一个物体距太阳的距离越远，它的轨道周期通常就越长，但L₂点上的物体还受到地球的引力，所以轨道周期变得与地球的相等。日地系统的L₂通常用于放置空间天文台。因为L₂上的物体可以保持背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。威尔金森微波各向异性探测器已经在日-地系统的L₂点上运行。詹姆斯韦伯太空望远镜也在日-地系统的L₂点上。嫦娥二号亦于2011年进入日-地系统的L₂点的环绕轨道，为从月球轨道出发进入日-地系统L₂点的首例。

地月系统的L₂在月球远离地球的一侧（月球背面）。2014年中国探月工程三期再入返回飞行试验器服务舱曾进入环绕地月L₂点的李萨如轨道开展试验，服务舱实现了环绕地月L₂点飞行三圈，验证了轨道设计、轨道控制和轨道维持技术。之后嫦娥4号的通信中继卫星鹊桥号则是在该位置使用晕轮轨道维持运转。

L₃

在两个大天体的连线上，且在较大的天体一侧。

例如：第三个拉格朗日点，L₃，位于太阳的另一侧，与太阳的距离略小于地球与太阳的距离，但是位于地球轨道的外部，这个看上去矛盾的表述是因为地球公转轨道的焦点，是太阳与地球的共同质心，尽管对于日地系统来说共同质心在太阳内部，太阳同时也在围绕这个共同质心转动，所以这种状态成为可能。

一些科幻小说和漫画会在L₃点创造一个“反地球”。

L₄

L₄点受两天体重力的合力指向系统的质心

在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方。此点稳定的原因在于，它到两大物体的距离相等，其对两物体分别的引力之比，正好等于两大物体的质量之比。因此，两个引力的合力正好指向该系统的质心，合力大小正好提供该物体公转所需之向心力，使其旋转周期与质量较小天体相同并达成轨道平衡。该系统中，两大物体和L₄点上物体围绕质心旋转，旋转中心与质心重合。事实上，L₄和L₅点上的物体的质量不须小到可忽略。L₄和L₅点处，小物体受太阳和地球的引力的合力指向日地共同质心且大小正合适。

L₅

在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的后方。

L₄和L₅有时称为三角拉格朗日点或特洛伊点。科幻作品（如漫画、小说）所说的用于放置殖民卫星的拉格朗日点特指L₄和L₅，不包括L₁和L₂。

例如：L₄和L₅在地球围太阳运行的轨道之前和之后成60°角处。

实质上是三个物体围绕共同质心转动。

平衡性

处于L₁、L₂和L₃点的物体是不稳定平衡，处于L₄与L₅的物体是稳定平衡。

严格而言，首先拉格朗日点只算是二星体连线之法平面内的稳定点，而在三维空间内则不稳定：考虑L₁：若垂直于中线地推移测试质点，则有一力将其推回平衡点（稳定平衡）；但若测试质点漂向任一星体，则该星体之引力会将其拉向自己（不稳定平衡）。L₁、L₂和L₃点在这条直线上不稳定，如果把物体放在这上面的话，它马上会离开这个点。所以，有一种轨道的设计就是，它是围绕L₂点做周期运动（晕轮轨道），这样的话，我们的卫星只需少量调节便能维持其轨道。

此对比：若M₁比M₂大于24.96，则处于L₄与L₅的物体是稳定平衡：当一测试质点偏离此平衡点，则科里奥利力会将其轨道扭曲成（相对于旋转座标之）扁豆状。太阳－木星系统有几千枚小行星，通称为“特洛伊小行星”，俱划此等轨迹。太阳－火星、太阳－土星、木星－木卫、土星－土卫等系统亦有类似星体。日－地系统中亦有 2010 TK7（第一颗地球特洛伊小行星），在二十世纪五十年代发现尘雾围绕L₄与L₅。在地－月系统之L₄与L₅点亦发现比对日照更微弱之尘雾。

流行文化

科幻作品（例如漫画和小说）所说的放置殖民卫星的拉格朗日点指L4和L5，不包括L1和L2。例如L4和L5在地球围太阳运行的轨道之前和之后成60°角处。

相关

• 特洛伊天体
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• 小行星带

外部链接

• （英文）欧洲空间局有关拉格朗日点的介绍和动画 （页面存档备份，存于互联网档案馆）