拿破仑定理

拿破仑定理是拿破仑发现的平面几何定理：“以任意三角形各边为边分别向外侧作正三角形，则它们的中心(三心)连线必构成一个正三角形。”该正三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形结论同样成立。

证明

证明段落配图

为外侧任意两个正三角形作外接圆，其两圆有2个交点，其中一个交点为中间三角形的顶点，设另外一个交点为$O$，并连接$O$与中间三角形的另外两个顶点，因为$O$在两圆上，所以$\angle AOB=\angle AOC=\angle COB=120^{\circ }$

因为中间正三角形的顶点在圆心上，且$AO$、$BO$、$CO$是外正三角形外接圆交点的连线，所以$OA$⊥$MN$、$OB$⊥$NL$、$OC$⊥$ML$

因为$\angle ACO+\angle CAO=60^{\circ }$，$\angle CAO+\angle AMN=\angle ACO+\angle CML=60^{\circ }$，所以$\angle AMN+\angle CML=60^{\circ }$，所以$\angle NML=60^{\circ }$，其余二角同理。

基本性质

这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个正三角形。
本图形具备下列特征:

• 线段${\overline {AX}}={\overline {BY}}={\overline {CZ}}$，且该三线段交于一点，该点到ABC三点距离之和等于${\overline {AX}}$（或${\overline {BY}}$、${\overline {CZ}}$）。
  
• ${\overline {AX}}$与${\overline {MN}}$、${\overline {BY}}$与${\overline {NL}}$、${\overline {CZ}}$与${\overline {ML}}$互相垂直。
  
• $\triangle ACY,\triangle BCX,\triangle ABZ$之外接圆相交于一点，该点即线段${\overline {AX}},{\overline {BY}},{\overline {CZ}}$之交点。
  

参见

• 四边形上，类似的定理为凡·奥贝尔定理。
• 拿破仑定理本身为佩特诺-伊曼-道格拉斯定理的特例。
• 内拿破仑三角形的面积大于等于 0 给出外森比克不等式。
• 西姆松定理
• 九点圆

外部链接

• 拿破仑三角形的证明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）：利用图解的方式，一步一步说明拿破仑三角形的原理（英文）。