指数多项式

在数学上，指数多项式（exponential polynomials）是一类定义于交换群、环、域等之上，并同时有着带变数多项式和指数函数的函数。

定义

域上的定义

指数多项式是同时带有变数$x$和某种指数函数$E(x)$的多项式。在复数域$\mathrm {C}$中，将$x$映至$e^{x}$的常规指数函数就是这样的指数函数。在这情境下，指数多项式一般指的是形如$P(x,e^{x})$且$P(x,e^{x})\in \mathrm {C}$的双变数多项式。

复数域$\mathrm {C}$并无特别之处；指数多项式也可指称任何指数域或指数环上的多项式，其中$e^{x}$可代以这些环或域中相对应的指数函数；类似地，并无理由认为这样的函数只能有一个变数，而一个$n$个变数的指数多项式会是有着$P(x_{1},\cdots ,x_{n},e^{x_{1}},\cdots ,e^{x_{n}})$这样的形式、带有$2n$个变数的多项式。

对于域$K$上的指数多项式的形式，可处理如次：设$W$为$K$中的有限生成Z-子模，并考虑如下的和：

$\sum _{i=1}^{m}f_{i}(X)\exp(w_{i}X)$

其中$f_{i}$是$K[X]$中的多项式，而$\exp(w_{i}X)$则是$W$中有着“$\exp(u+v)=\exp(u)\exp(v)$”这样的性质、以$w_{i}$为指数的形式符号。

交换群上的定义

更加一般的情境下，一个“指数多项式”一词可能会出现的地方，是交换群的指数函数。

和指数域对指数函数的定义类似，一个将拓朴交换群$\mathrm {G}$的元素映至复数域的加法群上的同态映射称为加法函数；而将之映至复数域的非零元素构成的乘法群上的同态映射则称为指数函数，或简称指数。加法函数与指数函数的乘积称为指数单项式；而这些单项式的线性组合，就称为$\mathrm {G}$上的指数多项式。

性质

Ritt定理（Ritt's theorem）指出，类似唯一分解定理和因式定理的定理，在指数多项式环上成立。

应用

定义于实数或复数上的指数多项式常出现于超越数论，在其中，这类函数出现于使用指数函数的证明中。指数多项式也是模型论和解析几何间的连结。若将指数变体给定义为$\mathrm {R} ^{n}$上的点，在其中某数量有限的指数多项式会倾向消失（vanish）的话，那么就可利用诸如解析几何中的Khovanskiǐ定理和模型论中的Wilkie定理等定理证明说，在允许包含更高维的指数变体的投影的像的状况下，这些指数变体会有着良好的行为，也就是这些变体所构成的集合，在集合论运算下是稳定的。实际上，前述的这两个定理可推出说实数所有的指数变体构成一个实数上的最小o结构（o-minimal structure）。

指数多项式也出现在线性时滞微分方程的特征方程中。