扩展实数线

扩展实数线又称广义实数（英语：extended real number），由实数线$\mathbb {R}$加上$+\infty$和$-\infty$得到（注意$+\infty$和$-\infty$并不是实数），写作${\overline {\mathbb {R} }}$、[−∞, +∞]或ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不会混淆时，符号 +∞常简写成∞。扩展的实数线在研究数学分析，特别是积分时非常有用。

扩展

对任意实数$a$，定义$-\infty <a<+\infty$，扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质，就是其所有子集都有上确界和下确界：这是一个完备格。全序关系在${\overline {\mathbb {R} }}$上引入了拓扑。在这个拓扑中，集合$U$是$+\infty$的邻域，当且仅当它包含集合$\left\{x:x>a\right\}$，这里$a$是某个实数。$-\infty$的邻域类似。${\overline {\mathbb {R} }}$是个紧致的豪斯多夫空间，与单位区间$\left[0,1\right]$同胚。

$\mathbb {R}$上的算术运算可以部分地扩展到${\overline {\mathbb {R} }}$，如下：

${\begin{array}{l}a+\infty =+\infty +a=+\infty &a\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a=-\infty &a\neq +\infty \\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right]\\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\mp \infty &a\in \left[-\infty ,0\right)\\{\dfrac {a}{\pm \infty }}=0&a\in \mathbb {R} \\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right)\\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\mp \infty &a\in \left(-\infty ,0\right)\end{array}}$

通常不定义$\infty -\infty ,0\cdot \left(\pm \infty \right),{\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$,${\frac {a}{0}}$。同时${\frac {1}{0}}$也不定义为$+\infty$（因为这样忽视了$-\infty$），这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意在这些定义下，${\overline {\mathbb {R} }}$不是域，也不是环。

性质

经过上述定义，扩展的实数轴仍有很多实数的性质：

• $a+\left(b+c\right)$和$\left(a+b\right)+c$相等或同时没有定义。
• $a+b$和$b+a$相等或同时没有定义。
• $a\cdot \left(b\cdot c\right)$和$\left(a\cdot b\right)\cdot c$相等或同时没有定义。
• $a\cdot b$和$b\cdot a$相等或同时没有定义。
• $a\cdot \left(b+c\right)$和$\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)$若都有定义则相等。
• 若$a\leq b$且$a+c$和$b+c$都有定义，则$a+c\leq b+c$。
• 若$a\leq b$且$c>0$且$a\cdot c$和$b\cdot c$都有定义，则$a\cdot c\leq b\cdot c$。

通常只要表达式都有定义，所有算术性质在${\overline {\mathbb {R} }}$上都成立。

使用极限，一些函数可以自然地扩展到${\overline {\mathbb {R} }}$。例如可以定义${\rm {{e}^{-\infty }=0,{\rm {{e}^{+\infty }=+\infty ,\ln {0}=-\infty ,\ln {\left(+\infty \right)}=+\infty }}}}$等。

参见

• 扩展的复平面