高斯公式(Gauss's law),又称为高斯通量理论(Gauss' flux theorem)、散度定理(Divergence Theorem)、高斯散度定理(Gauss's Divergence Theorem)[1]、高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式或高-奥公式,是指在向量分析中,一个把向量场通过闭合曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理(Stokes' Theorem)是向量中两大重要定理[2]。
更加精确地说,高斯公式说明向量场穿过曲面的通量,等于散度在曲面围起来的体积上的积分。直观地,所有源点的和减去所有汇点的和,就是流出这区域的净流量。
高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果,特别是静电学和流体力学。
在物理和工程中,散度定理通常运用在三维空间中。然而,它可以推广到任意维数。在一维,它等价于分部积分法。
区域V,以带有法线n的面S = ∂V为边界。
散度定理可以用来计算穿过闭曲面的通量,例如,任何左边的曲面;散度定理不可以用来计算穿过具有边界的曲面,例如,任何右边的曲面。在这图内,曲面以蓝色显示,边界以红色显示。
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起来的三维区域,函数 在 上具有一阶连续偏导数,则有[3]
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或
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这里 是 的边界(boundary), 是 在点 处的单位法向量的方向余弦。
这两个公式都叫做高斯公式,不过这两公式仅仅是表达方式不同,其实是相同的定理,这可以用变数变换得到两公式的右边都等于 ,其中 是曲面 的向外单位法向量。
这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。
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- 对于两个向量场 的向量积,应用高斯公式可得:
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- 对于标量函数f和非零常向量的积,应用高斯公式可得:
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- 对于向量场F和非零常向量的向量积,应用高斯公式可得:
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例子所对应的向量场。注意,向量可能指向球面的内侧或者外侧。
假设我们想要计算
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其中S是一个单位球面,定义为
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F是向量场
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直接计算这个积分是相当困难的,但我们可以用高斯公式来把它简化:
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其中W是单位球:
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由于函数y和z是奇函数,我们有:
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因此:
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因为单位球W的体积是4π/3.
二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整,首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量(详见并矢张量或张量积)以及相关的概念和记号。在这里,向量和向量场用黑斜体字母表示,张量用正黑体字母表示。
- 两个向量 和 并排放在一起所形成的量 被称为向量 和 的并矢或并矢张量。要注意,一般来说, 。
- 的充分必要条件是 或 。
- 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
- 分别线性地依赖于 和 。
- 二阶张量 和向量 的缩并 以及 对 和 都是线性的。
- 特别是,当 时,
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所以,一般说来, 。
下面举一个例子:用二阶张量及其与向量的缩并来重新写 和 。
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我们还用到二阶张量 的转置 (又可以记为 ),定义如下:
- 仍然是一个二阶张量,并且线性地依赖于 。
- 。
定理:设 是三维欧几里得空间中的一个有限区域, 是它的边界曲面, 是 的外法线方向上的单位向量, 是定义在 的某个开邻域上的 连续的二阶张量场, 是 的转置,则
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证明:下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为 ,则
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接下来利用向量场的高斯公式,可得
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于是
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至此证毕。