关系 (数学)

在数学上，关系是对如等于$=$或序$<$等二元关系的广义化。

简介

参考一个如“X认为Y喜欢Z”之类的关系，其实际情形如下：

关系S : X认为Y喜欢Z

X	Y	Z
韵如	凯文	佳馨
正干	韵如	柏豪
正干	正干	韵如
佳馨	佳馨	佳馨

上表的每一行都代表着一个事实，并给出“X认为Y喜欢Z”此类形式的断言。例如，第一行即表示“韵如认为凯文喜欢佳馨”。上表表示一个在集合P上的关系S，其中：

P = {韵如，凯文，佳馨}

包括表中所有的人物。表中的资料则等同于如下的有序对：

S = {(韵如，凯文，佳馨), (正干，韵如，凯文), (正干，正干，韵如), (佳馨，佳馨，佳馨)}

若较不严谨些，通常会将S(韵如，凯文，佳馨)用来指上表中第一行的同一种关系。关系S为“三元”关系，因为每一行都包含了“三个”项目。关系是一个以集合论中的概念定义出的数学对象（即关系为{X,Y,Z}的笛卡尔积的子集），包含了表中所有的信息。因此，数学上来说，关系纯粹是个集合。

形式定义

k元关系在数学上有两种常见的定义。

定义1在集合X₁,…,X_k上的关系L是指集合的笛卡尔积的子集，写成L ⊆ X₁ ×…× X_k。因此，在此定义下，k元关系就是个k元组的集合。

第二个定义用到数学上一个常见的习惯－说“某某为一n元组”即表示此一某某数学对象是由n组数学对象的描述来判定的。在集合X₁,…,X_k上的关系L中，会有k+1件事要描述，即k个集合加上一个这些集合笛卡尔积的子集。在此习惯下，L可以说是一个k+1元组。

定义2在集合X₁,…,X_k上的关系L是一个k+1元组L = (X₁,…, X_k, G(L))，其中G(L)是笛卡尔积X₁ ×…× X_k的子集，称之为L的“关系图”。

例子

可除性

两个正整数n和m之间“可除性”的关系是指“n 整除m”。此一关系通常用一特殊的符号“ | ”来表示它，写成“n|m”来表示“n整除m”。

若要以集合来代表这二元关系，即是设正整数的集合P = {1,2,3,…}，然后可除性就是一个在P上的二元关系D，其中D为一包含了所有n|m的有序对 (n,m)。

例如，2为4的约数及6为72的约数，则可写成2|4和6|72，或D(2,4)和D(6,72)。

共面

对三维空间内的线L，存在一个三条线为共面的三元关系。此一关系“无法”缩减成两条线共面的二元对称关系。

换句话说，若 P(L,M,N)表示线 L,M,N共面，且Q(L,M)表示线 L,M共面，则Q(L,M),Q(M,N)和Q(N,L)不能合起来代表P(L,M,N)也是对的；但相反则是正确的（三条共面的线之中的一对必然也会是共面的）。其中有两个几何上的反例。

第一个是，如x轴、y轴和z轴之类共点（即交于同一点）的三条线。另一个则是在任一三角柱上平行的三边。

若要正确，则必须加上每对线都会相交且相交的点都不同。如此一来，每对线的共面才会意指三条线的共面。

关系的性质

数学上更有研究意义的是具有某种性质的关系。一些常见的性质包括：自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性。确定一个关系是否具有这些性质，可以通过考察它的关系图或者是关系矩阵来做到。

具有自反性、对称性、传递性的关系称作等价关系。一个常见的例子就是整数的模同余。

具有自反性、反对称性、传递性的关系称作偏序关系。例如自然数集上的大于等于就是偏序关系。

n元谓词

n元谓词就是含有n个变量的布尔值函数。

由于上述的n元关系定义了 (x₁, ..., x_n)属于R时唯一的n元谓词（反之亦然），关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的：

$(x_{1},x_{2},\dotsb )\in R$

$R(x_{1},x_{2},\dotsb )$

多重关系

许多事物有多个元素两两关系。例如：

1，无穷个质数都是两两互素。例如质数2,3,5,7,11，就是所有质数之间没有公因数，我们知道有无穷的质数两两互素；

2，无穷个区域两两相连。例如，一个汽车轮胎形状的环面可以有7个区域两两相连，有两个洞的曲面可以有8个区域两两相连，有三个洞的曲面可以有9个区域两两相连，...。我们知道可以构造无穷的区域两两相连。