相等

在数学的领域中，若两个数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“$=$”；$x=y$当且仅当$x$和$y$相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如$6-2=4$，即$6-2$与$4$是相等的。

注意，有些时候“$A=B$”并不表示等式。例如，$T(n)=O(n^{2})$表示在数量级$n^{2}$上渐进。因为这里的符号“$=$”不满足当且仅当的定义，所以它不等于等于符号；实际上，$O(n^{2})=T(n)$是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

等价二元关系的表格

集合$A$上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。 实际上，这是$A$ 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求，就是等价关系。 相应的，给定任意等价关系$R$，可以构造商集$A/R$，并且这个等价关系将‘下降为’$A/R$上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。

逻辑形式

谓词逻辑含有标准的关于相等的公理来形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。 莱布尼茨的想法是，两样物体是同一的，当且仅当它们有完全相同的性质。 形式化这一说法，可以写成

对任意$x$和$y$，$x=y$当且仅当对任意谓词$P$ ，$P(x)$当且仅当$P(y)$。

然而，在一阶逻辑中，不能对谓词进行量化。因此，需要使用下述公理：

对任意$x$和$y$，若$x$等于$y$，则$P(x)$当且仅当$P(y)$。

这条公理对任意单变量的谓词$P$都有效，但只定义了莱布尼茨律的一个方向：若$x$和$y$相等，则它们具有相同的性质。 可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向：

对任意$x$，$x$等于$x$。

则若$x$和$y$具有相同的性质，则特定的它们关于谓词$P$是相同的。这里谓词$P$为：$P(z)$当且仅当$x=z$。 由于$P(x)$成立，$P(y)$必定也成立（相同的性质），所以$x=y$（' '$P$的变量为$y$）.

等于的一些基本性质

替代性

参见：等量公理

对任意量$a$和$b$和任意表达式$F(x)$，若$a=b$，则$F(a)=F(b)$（设等式两边都有意义）。 在一阶逻辑中，不能量化像$F$这样的表达式（它可能是个函数谓词）。 一些例子：

• 对任意实数$a,b,c$，若$a=b$，则$a+c=b+c$（这里$F(x)$为$x+c$）
• 对任意实数$a,b,c$，若$a=b$，则$a-c=b-c$（这里$F(x)$为$x-c$）
• 对任意实数$a,b,c$，若$a=b$，则$ac=bc$（这里$F(x)$为$xc$）
• 对任意实数$a,b,c$，若$a=b$且$c\neq 0$，则$a/c=b/c$（这里$F(x)$为$x/c$）

自反性

对任意量$a$，$a=a$。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

对称性

例子：如果$a=b$，那么$b=a$

传递性

例子：如果$a=b$，$b=c$，那么$a=c$

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

符号的历史

主条目：等号

“等于”符号或 “$=$”被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是$\approx$或≒，不等于的符号是$\neq$。

参见

• 等号

外部链接

• 关系符号的早期使用（英文）