旋转不变性

(重定向自旋轉對稱性

数学里,给予一个定义于内积空间函数,假若对于任意旋转,函数的参数值可能会改变,但是函数的数值仍旧保持不变,则称此性质为旋转不变性(rotational invariance),或旋转对称性(rotational symmetry),因为函数对于旋转具有对称性。例如,假设以xyz-参考系的原点为固定点,任意旋转xyz-参考系,而函数 的数值保持不变,因此,函数 对于任意旋转具有不变性,或对于任意旋转具有对称性。

在物理学里,假若物理系统的性质跟它在空间的取向无关,则这系统具有旋转不变性。根据诺特定理,假若物理系统的作用量具有旋转不变性,则角动量守恒

根据物理学家多年来仔细研究的结果,到目前为止,所有的物理基础定律都具有旋转不变性[1]

球对称位势范例

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哈密顿算符的旋转不变性

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假设一个量子系统的位势为球对称位势   ,其哈密顿算符   可以表示为

 

其中, 约化普朗克常数  是质量,  是径向距离。

现在,以 z-轴为旋转轴,旋转此系统的 x-轴与 y-轴   角弧,则新直角坐标   与旧直角坐标的关系式为

 
 
 

偏导数为

 
 
 

那么,导数项目具有旋转不变性:

 

由于径向距离具有旋转不变性:

 

旋转之后,新的哈密顿算符  

 

所以,球对称位势量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。

角动量守恒

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假设一个量子系统的位势为球对称位势   ,则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符   为一个对于 z-轴的无穷小旋转   。则正弦函数余弦函数可以分别近似为

 
 

新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为

 
 
 

  作用于波函数  

 

其中,  是角动量的 z-分量, 

所以,旋转算符   可以表达为

 

假设   是哈密顿算符的能级本征态,则

 

由于   只是一个虚设变数,

 

在做一个微小旋转之后,

 
 

所以,  。哈密顿算符的能级本征态   形成一组完备集 (complete set),旋转算符和哈密顿算符的对易关系是

 

因此,

 

根据埃伦费斯特定理 期望值对于时间的导数是

 

所以,

 

由于   显性地不含时间,

 

总结,  不含时间,  是个运动常数。角动量的 z-分量守恒。类似地,可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以,整个角动量守恒。

参阅

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参考文献

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  1. ^ 古斯, 阿兰, The Inflationary Universe, Basic Books: pp.340, 1998, ISBN 978-0201328400 
  • Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000. 
  • Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特别参考第十二章。非专科性书籍。