在数学里,给予一个定义于内积空间的函数,假若对于任意旋转,函数的参数值可能会改变,但是函数的数值仍旧保持不变,则称此性质为旋转不变性(rotational invariance),或旋转对称性(rotational symmetry),因为函数对于旋转具有对称性。例如,假设以xyz-参考系的原点为固定点,任意旋转xyz-参考系,而函数
的数值保持不变,因此,函数
对于任意旋转具有不变性,或对于任意旋转具有对称性。
在物理学里,假若物理系统的性质跟它在空间的取向无关,则这系统具有旋转不变性。根据诺特定理,假若物理系统的作用量具有旋转不变性,则角动量守恒。
根据物理学家多年来仔细研究的结果,到目前为止,所有的物理基础定律都具有旋转不变性[1]。
假设一个量子系统的位势为球对称位势 ,其哈密顿算符 可以表示为
- ;
其中, 是约化普朗克常数, 是质量, 是径向距离。
现在,以 z-轴为旋转轴,旋转此系统的 x-轴与 y-轴 角弧,则新直角坐标 与旧直角坐标的关系式为
- 、
- 、
- 。
偏导数为
- 、
- 、
- 。
那么,导数项目具有旋转不变性:
- 。
由于径向距离具有旋转不变性:
- ,
旋转之后,新的哈密顿算符 是
- 。
所以,球对称位势量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。
假设一个量子系统的位势为球对称位势 ,则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 为一个对于 z-轴的无穷小旋转 。则正弦函数与馀弦函数可以分别近似为
- 、
- 。
新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为
- 、
- 、
- 。
将 作用于波函数 ,
- ;
其中, 是角动量的 z-分量, 。
所以,旋转算符 可以表达为
- 。
假设 是哈密顿算符的能级本征态,则
- 。
由于 只是一个虚设变数,
- 。
在做一个微小旋转之后,
- 、
- 。
所以, 。哈密顿算符的能级本征态 形成一组完备集 (complete set),旋转算符和哈密顿算符的对易关系是
- 。
因此,
- 。
根据埃伦费斯特定理, 的期望值对于时间的导数是
- 。
所以,
- 。
由于 显性地不含时间,
- 。
总结, 不含时间, 是个运动常数。角动量的 z-分量守恒。类似地,可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以,整个角动量守恒。
- ^ 古斯, 阿兰, The Inflationary Universe, Basic Books: pp.340, 1998, ISBN 978-0201328400
- Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000.
- Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特别参考第十二章。非专科性书籍。