有效域

在数学的一个分支——凸分析中，有效域是对定义域的扩展。

定义

给定一个向量空间X，则一个映射到广义实数域的凸函数 $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ 的有效域 被定义为：

$\operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)<+\infty \}$。

对于凹函数，其有效域为：

$\operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)>-\infty \}$。

有效域的一个等价说法是上镜图的投影，即：

$\operatorname {dom} f=\{x\in X:\exists y\in \mathbb {R} :(x,y)\in \operatorname {epi} f\}$。

注意，如果一个凸函数映射到一般的实数域，即 $f:X\to \mathbb {R}$，则其有效域等价于一般的定义域。

函数 $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ 被称作是真凸函数，当且仅当f 是凸的, f的有效域非空，且对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)>-\infty$。