有界变差

有界变差（英语：Bounded variation）是函数的一个性质，它指的是总变差为有限的函数。

有界变差的理论对黎曼－斯蒂尔杰斯积分有相当的用处。

定义

设 $\Delta f(x_{i})=f(x_{i})-f(x_{i-1})$，若一个定义于实数区间 $[a,b]$ 上的函数$f$ 是有界变差函数，则存在一正数 $M$，对任意在区间 $[a,b]$上的（有限）分割$P=\{a=x_{0},x_{1},.....,x_{n}=b\}$ 而言，有 $\sum _{i=1}^{n}|\Delta f(x_{i})|\leq M$。

另一个等价的定义为：定义一个跟函数 $f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$ 相关的量如下：

$V_{a}^{b}(f)=\sup _{}\left\{\;\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|\,:\,P\in {\mathcal {P}}\right\},\;$

这里的符号 ${\mathcal {P}}$ 代表在闭区间 [a, b] 上所有的（有限）分割。

$f$为有界变差函数当且仅当 $V_{a}^{b}(f)<\infty$。

其定义可推广至复数域乃至于任何的欧几里德空间上。

性质

• 任意单调函数都是有界变差的。
• 设$f$在区间$[a,b]$上满足Lipschitz条件，即存在常数$K>0$，使得对于任意$x',x''$，有$|f(x')-f(x'')|\leq K|x'-x''|$，则$f$在$[a,b]$上是有界变差的。
• 若$f$在区间$[a,b]$上连续，且在区间的内部$(a,b)$可微，若对于任意在$f$定义域$[a,b]$的内部$(a,b)$的点$x$而言，存在一正实数$A$使得$|f'(x)|\leq A$，则$f$在$[a,b]$上是有界变差的。
• 若$f$在区间$[a,b]$上是有界变差的，则$f$在该区间上亦是有界的。
• 若$f$在区间$[a,b]$上是有界变差的，则其不连续点的数量是可数的。

参见

• 总变差

参照

• T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition.
• http://eom.springer.de/V/v096110.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）