有限秩算子

像集有限維的有界線性算子

泛函分析中,有限秩算子(英语:Finite-rank operator)是巴拿赫空间之间,的维数有限的有界线性算子[1]

希尔伯特空间中

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典范型

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有限秩算子类似有限大小的矩阵,但是放在无穷维空间中。于是,可藉线性代数技巧刻画其性质。

由线性代数知,矩阵 之秩为1,当且仅当 可以写成:

  其中   

同样可证希氏空间 上,算子 之秩为1,当且仅当

 

其中 与有限维情况满足同等条件。由此,用数学归纳法,可证秩 的算子 必可写成

 

其中  皆为标准正交基。前述表示法实质等同于奇异值分解,可以称为有限秩算子的“典范型”(canonical form)。

略加推广,若 改为可数无穷,而正实数列 会聚于0,则 紧算子英语compact operator on Hilbert space,相应的和式称为紧算子的典范型。

若级数 (迹)收敛,则 迹类算子

代数性质

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希氏空间 上,全体有限秩算子之族 有界算子代数 双边*理想。此外,其为此类(非零)理想中最小者,即 的任何双边*理想 必包含全体有限秩算子。简证如下:取非零算子 ,则有非零的 使 。只需证对任意 ,将 映至 的秩1算子 属于 。同样定义  ,则有

 

从而  中,证毕。

 的双边*理想举例有迹类希尔伯特-施密特算子类、紧算子类。三类各自配备范数,而 在此三个赋范空间中稠密

由于 的每个双边理想都包含  单代数当且仅当有限维。

巴拿赫空间中

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巴拿赫空间 之间的有限秩算子 值域仅得有限维的有界算子。与希氏空间的情况一样,可以写成

 

其中 ,但由于 中没有定义内积, 换成 上的有界线性泛函

有界线性泛函是有限秩算子的特例,其秩为1。

参考文献

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  1. ^ Finite Rank Operator - an overview. 2004 [2022-01-24]. (原始内容存档于2022-03-19).