有限秩算子

像集有限維的有界線性算子

泛函分析中,有限秩算子(英語:Finite-rank operator)是巴拿赫空間之間,的維數有限的有界線性算子[1]

希爾伯特空間中

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典範型

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有限秩算子類似有限大小的矩陣,但是放在無窮維空間中。於是,可藉線性代數技巧刻畫其性質。

由線性代數知,矩陣 之秩為1,當且僅當 可以寫成:

  其中   

同樣可證希氏空間 上,算子 之秩為1,當且僅當

 

其中 與有限維情況滿足同等條件。由此,用數學歸納法,可證秩 的算子 必可寫成

 

其中  皆為標準正交基。前述表示法實質等同於奇異值分解,可以稱為有限秩算子的「典範型」(canonical form)。

略加推廣,若 改為可數無窮,而正實數列 會聚於0,則 緊算子英語compact operator on Hilbert space,相應的和式稱為緊算子的典範型。

若級數 (跡)收斂,則 跡類算子

代數性質

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希氏空間 上,全體有限秩算子之族 有界算子代數 雙邊*理想。此外,其為此類(非零)理想中最小者,即 的任何雙邊*理想 必包含全體有限秩算子。簡證如下:取非零算子 ,則有非零的 使 。衹需證對任意 ,將 映至 的秩1算子 屬於 。同樣定義  ,則有

 

從而  中,證畢。

 的雙邊*理想舉例有跡類希爾伯特-施密特算子類、緊算子類。三類各自配備範數,而 在此三個賦範空間中稠密

由於 的每個雙邊理想都包含  單代數當且僅當有限維。

巴拿赫空間中

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巴拿赫空間 之間的有限秩算子 值域僅得有限維的有界算子。與希氏空間的情況一樣,可以寫成

 

其中 ,但由於 中沒有定義內積, 換成 上的有界線性泛函

有界線性泛函是有限秩算子的特例,其秩為1。

參考文獻

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  1. ^ Finite Rank Operator - an overview. 2004 [2022-01-24]. (原始內容存檔於2022-03-19).