朱世杰恒等式

朱世杰恒等式组合数的一阶求和公式。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》中,利用垛积术招差术给出:

[1]

或以再与上式作差,写成:

证明

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递归方法

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欲证

 

可以反复使用帕斯卡法则合并左式首两项。

组合方法

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 元集  个元素,有 种方法。

必有 时,在 个元素中选 个元素,排除 ,必有 时,在 个元素中选 个元素,排除 ,如此类推,直到必有 时,在 个元素中选 个元素。

 [2]

应用

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朱世杰恒等式可应用于等幂求和问题。例如:

 
 [3]

参考资料

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  1. ^ 罗见今. 朱世傑—范德蒙公式的發展簡介. 数学传播 (中央研究院数学研究所). 2008-12, 32 (4 (128)) [2022-11-23]. (原始内容存档于2023-02-01). 
  2. ^ 伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4) [2014-05-24]. (原始内容存档于2019-05-02). 
  3. ^ 田达武. 朱世杰恒等式及其应用. 数学教学通讯. 2009, (36) [2014-05-24]. (原始内容存档于2020-01-15).