朱世傑恆等式

朱世傑恆等式組合數的一階求和公式。元朝數學家朱世傑在《四元玉鑒》中,利用垛積術招差術給出:

[1]

或以再與上式作差,寫成:

證明

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遞歸方法

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欲證

 

可以反覆使用帕斯卡法則合併左式首兩項。

組合方法

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 元集  個元素,有 種方法。

必有 時,在 個元素中選 個元素,排除 ,必有 時,在 個元素中選 個元素,排除 ,如此類推,直到必有 時,在 個元素中選 個元素。

 [2]

應用

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朱世傑恆等式可應用於等冪求和問題。例如:

 
 [3]

參考資料

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  1. ^ 羅見今. 朱世傑—范德蒙公式的發展簡介. 數學傳播 (中央研究院數學研究所). 2008-12, 32 (4 (128)) [2022-11-23]. (原始內容存檔於2023-02-01). 
  2. ^ 伍啟期. 组合数列求和. 佛山科學技術學院學報(自然科學版). 1996, (4) [2014-05-24]. (原始內容存檔於2019-05-02). 
  3. ^ 田達武. 朱世杰恒等式及其应用. 數學教學通訊. 2009, (36) [2014-05-24]. (原始內容存檔於2020-01-15).