柯西积分定理 (或称柯西-古萨定理 ),是一个关于复平面 上全纯函数 的路径积分 的重要定理。柯西积分定理说明,如果从一点到另一点有两个不同的路径,而函数在两个路径之间处处是全纯的,则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是,单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长 闭合曲线的积分是0.
设
Ω
{\displaystyle \Omega }
是复平面
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的一个单连通的开子集 。
f
:
Ω
→
C
{\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
是一个
Ω
{\displaystyle \Omega }
上的全纯函数。设
γ
{\displaystyle \gamma }
是
Ω
{\displaystyle \Omega }
内的一个分段可求长 的简单闭曲线(即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线),那么:
∮
γ
f
(
z
)
d
z
=
0.
{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}
[ 1] :52
Ω
{\displaystyle \Omega }
是单连通 表示
Ω
{\displaystyle \Omega }
中没有“洞”,例如任何一个开圆盘
D
=
{
z
:
|
z
−
z
0
|
<
r
}
{\displaystyle D=\{z:|z-z_{0}|<r\}}
都符合条件,这个条件是很重要的,考虑中央有“洞”的圆盘:
D
h
=
{
z
:
0
<
|
z
−
z
0
|
<
2
}
{\displaystyle D_{h}=\{z:0<|z-z_{0}|<2\}}
,在其中取逆时针方向的单位圆 路径:
γ
(
t
)
=
e
i
t
t
∈
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right)}
考虑函数
f
:
z
↦
1
/
z
{\displaystyle f\;:\;z\;\mapsto \;1/z}
,它在
D
h
{\displaystyle D_{h}}
中是全纯函数,但它的路径积分:
∮
γ
1
z
d
z
=
∫
0
2
π
i
e
i
t
e
i
t
d
t
=
∫
0
2
π
i
d
t
=
2
π
i
{\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{ie^{it} \over e^{it}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}
不等于零。这是因为函数
f
{\displaystyle f}
在“洞”中有奇点 。如果考虑整个圆盘
D
s
=
{
z
:
|
z
−
z
0
|
<
2
}
{\displaystyle D_{s}=\{z:|z-z_{0}|<2\}}
,就会发现
f
{\displaystyle f}
在圆盘中央的点上没有定义,不是全纯函数。[ 2] :419
柯西积分定理有若干个等价的叙述。例如:
设
Ω
{\displaystyle \Omega }
是复平面
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的一个开子集 。
f
:
Ω
→
C
{\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
是一个定义在
Ω
{\displaystyle \Omega }
上的函数。设
γ
1
:
[
0
,
1
]
→
Ω
{\displaystyle \gamma _{1}\;:\;[0,1]\;\rightarrow \Omega }
与
γ
2
:
[
0
,
1
]
→
Ω
{\displaystyle \gamma _{2}\;:\;[0,1]\;\rightarrow \Omega }
是
Ω
{\displaystyle \Omega }
内的两条可求长 的简单曲线,它们的起点和终点都重合:
γ
1
(
0
)
=
γ
2
(
0
)
,
γ
1
(
1
)
=
γ
2
(
1
)
,
{\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0),\quad \gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1),}
并且函数
f
{\displaystyle f}
在
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1}}
与
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
围成的闭合区域
D
{\displaystyle D}
内是全纯函数,那么函数
f
{\displaystyle f}
沿这两条曲线的路径积分相同:
∫
γ
1
f
(
z
)
d
z
=
∫
γ
2
f
(
z
)
d
z
.
{\displaystyle \int _{\gamma _{1}}f(z)\,dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)\,dz.}
除了对分段可求长的简单闭合曲线成立以外,柯西积分定理对于某些更复杂的曲线也适用。设
Ω
{\displaystyle \Omega }
是复平面
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的一个开子集 。
f
:
Ω
→
C
{\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
是定义在
Ω
{\displaystyle \Omega }
上的全纯函数。无论
Ω
{\displaystyle \Omega }
内的曲线
γ
{\displaystyle \gamma }
是自交还是卷绕数 多于1(围着某一点转了不止一圈),只要
γ
{\displaystyle \gamma }
能够通过连续形变收缩为
Ω
{\displaystyle \Omega }
内的一点,就有:
∮
γ
f
(
z
)
d
z
=
0.
{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}
[ 1] :59
以下的证明对函数有较为严格的要求,但对物理学中的应用来说已经足够。设
Ω
{\displaystyle \Omega }
是复平面
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的一个开子集 。
f
:
Ω
→
C
{\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }
是定义在
Ω
{\displaystyle \Omega }
上的全纯函数,
γ
{\displaystyle \gamma }
是
Ω
{\displaystyle \Omega }
内的可求长的简单闭合曲线。假设
f
{\displaystyle f}
的一阶偏导数 也在
Ω
{\displaystyle \Omega }
上连续,那么可以根据格林定理 作出证明。具体如下:
为了便于表达,将函数
f
{\displaystyle f}
写为实部函数和虚部函数:
f
(
z
)
=
f
(
x
+
y
i
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+i\,v(x,y).}
由于
d
z
=
d
x
+
i
d
y
{\displaystyle \displaystyle dz=dx+i\,dy}
,积分
∮
γ
f
(
z
)
d
z
=
∮
γ
(
u
+
i
v
)
(
d
x
+
i
d
y
)
=
∮
γ
(
u
d
x
−
v
d
y
)
+
i
∮
γ
(
v
d
x
+
u
d
y
)
{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}
依据格林定理,右端的两个环路积分都可以变形为
γ
{\displaystyle \gamma }
围成的区域
D
γ
{\displaystyle D_{\gamma }}
上的面积分。
∮
γ
(
u
d
x
−
v
d
y
)
=
∬
D
γ
(
−
∂
v
∂
x
−
∂
u
∂
y
)
d
x
d
y
,
∮
γ
(
v
d
x
+
u
d
y
)
=
∬
D
γ
(
∂
u
∂
x
−
∂
v
∂
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D_{\gamma }}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\;,\qquad \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}
另一方面,由于
f
{\displaystyle f}
是全纯函数,所以它的实部函数和虚部函数满足柯西-黎曼方程 :
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
,
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}\;,\qquad {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}}
所以以上的两个积分中的被积函数都是0,
∬
D
γ
(
−
∂
v
∂
x
−
∂
u
∂
y
)
d
x
d
y
=
∬
D
γ
(
∂
u
∂
y
−
∂
u
∂
y
)
d
x
d
y
=
0
{\displaystyle \iint _{D_{\gamma }}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}
∬
D
γ
(
∂
u
∂
x
−
∂
v
∂
y
)
d
x
d
y
=
∬
D
γ
(
∂
u
∂
x
−
∂
u
∂
x
)
d
x
d
y
=
0
{\displaystyle \iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D_{\gamma }}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}
因而积分也是0:
∮
γ
f
(
z
)
d
z
=
0
{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}
[ 2] :420-421
Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.
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Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.
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