格尔丰德-施奈德定理

格尔丰德-施奈德定理（英语：Gelfond–Schneider theorem）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奥多·施耐德在1934年分别独立证明，它解决了希尔伯特第七问题。

表述

如果$\alpha$和$\beta$是代数数，其中$\alpha \notin \{0,1\}$，且$\beta$不是有理数，那么任何$\alpha ^{\beta }=e^{\{\beta \log \alpha \}}$的值一定是超越数。

评论

• $\alpha$ 和 $\beta$ 不限于实数，也可以是虚部不为零的复数。因此，$\alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \}$可以是多值的，其中“log”表示复数对数，且该定理对每个值都是成立的。
• 该定理的一个等价的表述是：如果 $\alpha$ 和 $\gamma$ 是非零的代数数，那么 $(\log \gamma )/(\log \alpha )$ 要么是有理数，要么是超越数。

使用反证法。

令 $\beta =(\log \gamma )/(\log \alpha )=\log _{\alpha }\gamma$

假设 $\beta$ 不为超越数，也不为有理数，即为代数数

根据此定理，$\alpha ^{\beta }=\gamma$ 为超越数

但 $\alpha ^{\beta }=\alpha ^{\log _{\alpha }\gamma }=\gamma$ 却是代数数，矛盾。

故 $(\log \gamma )/(\log \alpha )$ 要么是有理数，要么是超越数。

• 如果没有 $\alpha$，$\beta$ 是代数数的限制，这个定理未必成立。例如：
  • 令 $\alpha ={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ 为超越数（由本定理可得知），$\beta ={\sqrt {2}}$ 为代数数，则

${\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2$，是代数数。

• • 令 $\alpha =3$ 为代数数，$\beta =\log 2/\log 3$ 为超越数，则

$\alpha ^{\beta }=2$，是代数数。

定理的应用

利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性：

• $2^{\sqrt {2}}$（格尔丰德-施奈德常数）和它的平方根 ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$。
• 格尔丰德常数

$e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.1406926328\ldots$

• $i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi }{2}}\right)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0.20787957635\ldots$

参见

• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
• Schanuel猜想，如果证明了这个猜想，就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

参考文献

• Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956
• 埃里克·韦斯坦因. Gelfond-Schneider Theorem. MathWorld.