定义以及用法
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给定流形 M {\displaystyle M\,} 微分算子 L {\displaystyle L\,} G ( x , s ) s , x ∈ M {\displaystyle G(x,s)\,s,x\in M}
L G ( x , s ) = δ ( x − s ) ( 1 ) {\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\ \ \ \ \ (1)} 其中 δ {\displaystyle \delta \,} 狄拉克δ函数 。此技巧可用来解下列形式的微分方程：
L u ( x ) = f ( x ) ( 2 ) {\displaystyle Lu(x)=f(x)\ \ \ \ (2)} 若L {\displaystyle L} 零空间 非平凡，则格林函数不唯一。不过，实际上因着对称性 、边界条件 或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只是一个广义函数 。
格林函数在凝聚态物理学 中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式 有较高的精度。在量子力学 中，哈密顿算子 的格林函数和状态密度 有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程 有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。
若可找到线性算符 L {\displaystyle L\,} G {\displaystyle G\,} f ( s ) {\displaystyle f(s)\,} s {\displaystyle s\,}
∫ L G ( x , s ) f ( s ) d s = ∫ δ ( x − s ) f ( s ) d s = f ( x ) . {\displaystyle \int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x).} 由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于 L u ( x ) {\displaystyle Lu(x)\,}
L u ( x ) = ∫ L G ( x , s ) f ( s ) d s . {\displaystyle Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)ds.} 由于算符 L {\displaystyle L\,} x {\displaystyle x\,} s {\displaystyle s\,} L {\displaystyle L\,}
L u ( x ) = L ( ∫ G ( x , s ) f ( s ) d s ) . {\displaystyle Lu(x)=L\left(\int G(x,s)f(s)ds\right).} 而以下的式子也会成立：
u ( x ) = ∫ G ( x , s ) f ( s ) d s . ( 3 ) {\displaystyle u(x)=\int G(x,s)f(s)ds.\ \ \ \ (3)} 因此，若知道 (1) 式的格林函数，及 (2) 式中的 f(x) ，由于 L 为线性算符，可以用上述的方式得到 u(x) 。换句话说， (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的积分得到。若可以找到满足 (1) 式的格林函数 G ，就可以求出 u(x) 。
并非所有的算符 L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符 L 的左逆元素 。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论，(3) 式的积分也很难求解，因此此方法只能算是提供了一个理论上存在的解法。
格林函数可以用来解非齐次的微-积分方程──多半是施图姆-刘维尔问题 。若 G 是算符 L 的格林函数，则方程式 Lu = f 的解 u 为
u ( x ) = ∫ f ( s ) G ( x , s ) d s . {\displaystyle u(x)=\int {f(s)G(x,s)\,ds}.} 可以视为 f 依狄拉克δ函数的基底展开，再将所有投影 量叠加 的结果。以上的积分为弗雷德霍姆积分方程
非齐次边界值问题的求解
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格林函数的主要用途是用来求解非齐次的边界值问题 。在近代的理论物理 中，格林函数一般是用来作为费曼图 中的传播子 ，而“格林函数”一词也用来表示量子力学 中的关联函数
研究框架
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令 L {\displaystyle L} 算子
L = d d x [ p ( x ) d d x ] + q ( x ) {\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)} 而 D 是边界条件算子
D u = { α 1 u ′ ( 0 ) + β 1 u ( 0 ) α 2 u ′ ( l ) + β 2 u ( l ) {\displaystyle Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)\end{matrix}}\right.} 令 f ( x ) {\displaystyle f(x)} [ 0 , l ] {\displaystyle [0,l]} 连续函数 ，并假设以下问题
L u = f D u = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}} 有正则特牲；即其齐次问题只存在寻常 解。
则存在唯一解 u ( x ) {\displaystyle u(x)\,}
L u = f D u = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}} 而其解的计算方式如下
u ( x ) = ∫ 0 ℓ f ( s ) g ( x , s ) d s {\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)g(x,s)\,ds} 而中 g ( x , s ) {\displaystyle g(x,s)\,} 格林函数 ，有以下的特性：
g ( x , s ) {\displaystyle g(x,s)\,} x {\displaystyle x\,} s {\displaystyle s\,} 对所有 x ≠ s {\displaystyle x\neq s} L g ( x , s ) = 0 {\displaystyle Lg(x,s)=0\,}
对所有 s ≠ 0 , l {\displaystyle s\neq 0,l} D g ( x , s ) = 0 {\displaystyle Dg(x,s)=0\,}
微分 跳跃：g ′ ( s + 0 , s ) − g ′ ( s − 0 , s ) = 1 / p ( s ) {\displaystyle g'(s_{+0},s)-g'(s_{-0},s)=1/p(s)\,} 对称：g ( x , s ) = g ( s , x ) {\displaystyle g(x,s)=g(s,x)\,} 寻找格林函数
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特征向量展开
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若一微分算子 L 有一组完备的特征向量 Ψ n ( x ) {\displaystyle \Psi _{n}(x)} Ψ n ( x ) {\displaystyle \Psi _{n}(x)} λ n {\displaystyle \lambda _{n}} L Ψ n = λ n Ψ n {\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}}
先假设函数 Ψ n ( x ) {\displaystyle \Psi _{n}(x)}
δ ( x − x ′ ) = ∑ n = 0 ∞ Ψ n ( x ) Ψ n ( x ′ ) . {\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x').} 经由证明可得下式：
G ( x , x ′ ) = ∑ n = 0 ∞ Ψ n ( x ) Ψ n ( x ′ ) λ n . {\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}}.} 若在等号两侧加上微分算子 L ，则可以证明以上假设的完备性。
有关以上格林函数的进一步研究，及格林函数和特征向量所组成空间的关系，则为弗雷德霍姆理论
拉普拉斯算子的格林函数
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先由格林定理 开始：
∫ V ( ϕ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 ϕ ) d V = ∫ S ( ϕ ∇ ψ − ψ ∇ ϕ ) ⋅ d σ ^ {\displaystyle \int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}} 假设线性算符 L 为拉普拉斯算子 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} G 为拉普拉斯算子的格林函数。则因为格林函数的定义，可得下式：
L G ( x , x ′ ) = ∇ 2 G ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) {\displaystyle LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x')} 令格林定理中的 ψ = G {\displaystyle \,\!\psi =G}
∫ V ϕ ( x ′ ) δ ( x − x ′ ) d 3 x ′ − ∫ V G ( x , x ′ ) ∇ 2 ϕ ( x ′ ) d 3 x ′ = ∫ S ϕ ( x ′ ) ∇ ′ G ( x , x ′ ) − G ( x , x ′ ) ∇ ′ ϕ ( x ′ ) ⋅ d σ ^ ′ ( 4 ) {\displaystyle \int _{V}\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'-\int _{V}G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\ d^{3}x'=\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (4)} 根据上式，可以解拉普拉斯方程 ∇ 2 ϕ ( x ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=0} 泊松方程 ∇ 2 ϕ ( x ) = − 4 π ρ ( x ) {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=-4\pi \rho (x)} 狄利克雷边界条件 或是诺伊曼边界条件 。换句话说，在以下任一个条件成立时，可以解一空间内任一位置的 ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)}
已知 ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)}
已知 ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)} 法向导数 （诺伊曼边界条件）。 若想解在区域内的 ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)}
∫ V ϕ ( x ′ ) δ ( x − x ′ ) d 3 x ′ {\displaystyle \int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}} 可化简为 ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)} ∇ 2 ϕ ( x ′ ) {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x')} ρ ′ ( x ′ ) {\displaystyle \,\!\rho '(x')} ρ ′ ( x ) = − 4 π ρ ( x ) {\displaystyle \,\!\rho '(x)=-4\pi \rho (x)} ρ ′ ( x ) = 0 {\displaystyle \,\!\rho '(x)=0}
ϕ ( x ) = ∫ V G ( x , x ′ ) ρ ′ ( x ′ ) d 3 x ′ + ∫ S ϕ ( x ′ ) ∇ ′ G ( x , x ′ ) − G ( x , x ′ ) ∇ ′ ϕ ( x ′ ) ⋅ d σ ^ ′ ( 5 ) {\displaystyle \phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho '(x')\ d^{3}x'+\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (5)} 上式即为调和函数 （harmonic function）的特性之一：若边界上的值或法向导数已知，则可以求出区域内每个位置的数值。
在静电学 中，ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)} 电位 ，ρ ( x ) {\displaystyle \,\!\rho (x)} 电荷 密度 ，而法向导数 ∇ ϕ ( x ′ ) ⋅ d σ ^ ′ {\displaystyle \nabla \phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'} 电场 在法向的分量。
若目前的边界条件为狄利克雷边界条件，可以选择在 x 或 x' 在边界时，其值也为 0 的格林函数。若边界条件为诺伊曼边界条件，可以选择在 x 或 x' 在边界时，其法向导数为 0 的格林函数。因此 (5) 式等号右侧的二个积分项有一项为 0 ，只剩下一项需计算。
在自由空间 的情形下（此时可将边界条件视为：lim x ^ → ∞ ϕ ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{{\hat {x}}\to \infty }\phi (x)=0}
G ( x ^ , x ^ ′ ) = 1 | x ^ − x ^ ′ | {\displaystyle G({\hat {x}},{\hat {x}}')={\frac {1}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}} 若 ρ ( x ^ ) {\displaystyle \,\!\rho ({\hat {x}})} 电荷密度 ，则可得到电荷密度和电位 ϕ ( x ^ ) {\displaystyle \,\!\phi ({\hat {x}})}
ϕ ( x ^ ) = ∫ V ρ ( x ′ ) | x ^ − x ^ ′ | d 3 x ′ {\displaystyle \phi ({\hat {x}})=\int _{V}{\frac {\rho (x')}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}\ d^{3}x'}
针对以下微分方程
L u = u ″ + u = f ( x ) {\displaystyle {\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u''+u=f(x)} D u = u ( 0 ) = 0 , u ( π 2 ) = 0 {\displaystyle Du=u(0)=0\quad ,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0} 找出格林函数。
第 1 步
根据定理中，格林函数的特性 2，可得
g ( x , s ) = c 1 ( s ) ⋅ cos x + c 2 ( s ) ⋅ sin x {\displaystyle g(x,s)=c_{1}(s)\cdot \cos x+c_{2}(s)\cdot \sin x} 在 x < s 时因特性 3 可知
g ( 0 , s ) = c 1 ( s ) ⋅ 1 + c 2 ( s ) ⋅ 0 = 0 , c 1 ( s ) = 0 {\displaystyle g(0,s)=c_{1}(s)\cdot 1+c_{2}(s)\cdot 0=0,\quad c_{1}(s)=0} （此时不需考虑 g ( π 2 , s ) = 0 {\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=0} x ≠ π 2 {\displaystyle x\neq {\frac {\pi }{2}}} x > s 时因特性 3 可知
g ( π 2 , s ) = c 1 ( s ) ⋅ 0 + c 2 ( s ) ⋅ 1 = 0 , c 2 ( s ) = 0 {\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=c_{1}(s)\cdot 0+c_{2}(s)\cdot 1=0,\quad c_{2}(s)=0} （此时不需考虑 g ( 0 , s ) = 0 {\displaystyle \quad g(0,s)=0} x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0}
g ( x , s ) = { a ( s ) sin x , x < s b ( s ) cos x , s < x {\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}a(s)\sin x,\;\;x<s\\b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.} 第 2 步
依格林函数的特性，找出 a (s )和b (s ).
根据特性 1，可得
a ( s ) sin s = b ( s ) cos s {\displaystyle a(s)\sin s=b(s)\cos s\quad } 根据特性 4，可得
b ( s ) ⋅ [ − sin s ] − a ( s ) ⋅ cos s = 1 1 = 1 . {\displaystyle b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.} 解上述二式，可以求出 a (s )和b (s )
a ( s ) = − cos s ; b ( s ) = − sin s {\displaystyle a(s)=-\cos s\quad ;\quad b(s)=-\sin s} 因此格林函数为
g ( x , s ) = { − 1 ⋅ cos s ⋅ sin x , x < s − 1 ⋅ sin s ⋅ cos x , s < x {\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.} 对照此解和格林函数的特性 5，可知此解也满足特性 5 的要求。
其他举例
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若流形为 R ，而线性算符 L 为 d /dx ，则单位阶跃函数 H (x − x 0 ) 为 L 在 x 0 处的格林函数。
若流形为第一象限平面 { (x , y ) : x , y ≥ 0 } 而线性算符 L 为拉普拉斯算子，并假设在x = 0 处有狄利克雷边界条件 ，而在y = 0 处有诺依曼边界条件 ，则其格林函数为 G ( x , y , x 0 , y 0 ) = 1 2 π [ ln ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 − ln ( x + x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ] {\displaystyle G(x,y,x_{0},y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]} + 1 2 π [ ln ( x − x 0 ) 2 + ( y + y 0 ) 2 − ln ( x + x 0 ) 2 + ( y + y 0 ) 2 ] . {\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].}
Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field , Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9 .（其中的第五章介绍如何使用格林函数解静电场的边界值问题）
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
外部链接
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![{\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17348833c6b88f42a9a3c622006c39371e78dea)
![{\displaystyle [0,l]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c573a429032d350e2160db65ff725e1f8f74d4)
![{\displaystyle b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a44ff55840179a41f4067968c088194fe55cce)
![{\displaystyle G(x,y,x_{0},y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a4699b83fb92ac32fa2ee544acbe03ef7d39aa)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1cfa92aa50a6d303596183acfed5c700ddd86c0)