极限比较审敛法

极限比较审敛法是判别级数敛散性的一种方法。

描述

假设存在两个级数$\Sigma _{n}a_{n}$与$\Sigma _{n}b_{n}$，且对于任意$n$都有$a_{n},b_{n}\geq 0$。

如果$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$（$0<c<\infty$），那么两级数同时收敛或发散。

证明

对$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$，我们知道对于任意$\varepsilon >0$都存在一正整数$n_{0}$使得当$n\geq n_{0}$ 时有$\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$，等价于

$-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon$

$c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon$

$(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$

由于$c>0$，我们可以让$\varepsilon$足够小使得$c-\varepsilon$为正。 因此$b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$，根据比较审敛法，如果$\sum _{n}a_{n}$收敛，则$\sum _{n}b_{n}$同样收敛。

类似地，$a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$，如果$\sum _{n}b_{n}$收敛，根据比较审敛法，$\sum _{n}a_{n}$亦收敛。

因此二者同时收敛或发散。

例子

判断$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$是否收敛。我们将其与收敛级数$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$进行比较。

由于$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$，我们可以得出原级数收敛。

参见

• 审敛法
• 比较审敛法

参考来源

• Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR （页面存档备份，存于互联网档案馆）)

外部链接

• Pauls Online Notes on Comparison Test