贝特朗判别法

贝特朗判别法(英语:Bertrand's test)是正项级数敛散性的一种判别方法,分析通过级数项作成的形如序列的极限,可以更为精细地讨论级数的收敛性,可以看作达朗贝尔判别法拉阿伯判别法库默尔判别法英语Ratio test#5. Kummer’s test的推论。

无穷级数
无穷级数

定理

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 是欲判断敛散性的级数,定义序列

 

设它具有极限  

那么:

  • 倘若 ,级数收敛;
  • 倘若 ,级数发散;
  • 倘若 ,则级数的敛散性暂时不能确定[1]

证明

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库默尔判别法英语Ratio test#5. Kummer’s test中取 ,这样的选取是可以允许的,因为级数 发散。

在这情形下有 

也可以表示成 

其中 ,这就得到了贝特朗判别法。

参考文献

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  1. ^ Г. М. 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程(第二卷)(第8版) 第二版. 2006: 230. ISBN 978-7-04-018304-7.