模方程
此条目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑。 (2017年2月13日) |
数学中的模方程（modular equation）是一个满足模问题下模量（moduli）[1]定义的代数方程。给定一些在模空间中的函数，模方程是一些和这些函数的方程，或是一些在模量下成立的恒等式。
模方程最常见的用法，是指椭圆曲线的模量问题（moduli problem）。此处的模空间是一维的，若在模曲线函数域的任意两个有理函数F及G，会满足一个模方程P(F,G) = 0，P是二变数的非零复数多项式 。若选择了适当的，非退化的F和G，可以用方程P(X,Y) = 0定义模曲线。
就算在最坏的情况下，P也是高阶的多项式，其定义的平面曲线会存在奇点，多项式P的系数会是很大的数字。并且很难单纯根据P的资讯，找到模量问题的尖点（也就是模曲线上，无法对应一般椭圆曲线，只对应退化型曲线的点）。
在此概念下，模方程（modular equation）会变成“模曲线的方程”（equation of a modular curve）。这类方程最早出现在椭圆函数乘法的理论中（几何上，是从2-环面到自身的n2-fold覆盖映射，是由其基础群上的x → n·x映射所给定的），以复分析的形式来说明。