欧拉-拉格朗日方程

欧拉-拉格朗日方程（英语：Euler-Lagrange equation）为变分法中的一条重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的临界值（平稳值）函数，换句话说也就是求此泛函在其定义域的临界点的一个方法，与微积分差异的地方在于，泛函的定义域为函数空间而不是 $\mathbb {R} ^{n}$。

该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。

第一方程

设$f=f(x,\ y,\ z)$，以及$f_{y},\ f_{z}$在$[a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}$中连续，并设泛函

$J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$。

若$y\in C^{1}[a,\ b]$使得泛函$J(y)$取得局部平稳值，则对于所有的$x\in (a,\ b)$，

${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}f(x,y,y')={\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,y')$。

推广到多维的情况，记

${\vec {y}}(x)=(y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x))$，

${\vec {y}}'(x)=(y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))$，

$f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')=f(x,y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x),y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))$。

若${\vec {y}}'(x)\in (C^{1}[a,b])^{n}$使得泛函$J({\vec {y}})=\int _{a}^{b}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')dx$取得局部平稳值，则在区间$(a,\ b)$内对于所有的$i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n$，皆有

${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')={\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')$。

第二方程

设$f=f(x,\ y,\ z)$，及$f_{y},\ f_{z}$在$[a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}$中连续，若$y\in C^{1}[a,\ b]$使得泛函$J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$取得局部平稳值，则存在一常数$C$，使得

$f(x,y,y')-y'(x)f_{y\,'}(x,y,y')=\int _{a}^{x}f_{x}(x(t),y(t),y'(t))dt+C$。

例子

例一：两点之间最短曲线

设$(0,\ 0)$及$(a,\ b)$为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设$(x(t),\ y(t))(t\in [0,\ 1])$，并且

$(x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)$；

这里，$(x(t),\ y(t))\in C^{1}[0,\ 1]$为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为

$L(y)=\int _{0}^{1}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}dt$。

现设

${\vec {y}}(t)=(x(t),\ y(t))$，

$f(t,\ {\vec {y}}(t),\ {\vec {y}}'(t))={\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}$，

取偏微分，则

$f_{x'}={\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}$，

$f_{y'}={\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}$，

$f_{x}=f_{y}=0$。

若$y$使得$L(y)$取得局部平稳值，则$y$符合第一方程：

${\frac {d}{dt}}f_{x'}(t,y,y')=f_{x}(t,y,y')=0$，

${\frac {d}{dt}}f_{y'}(t,y,y')=f_{y}(t,y,y')=0$。

因此，

${\frac {d}{dt}}{\frac {x'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0$，

${\frac {d}{dt}}{\frac {y'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0$。

随$t$积分，

${\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{0}$，

${\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{1}$；

这里，$C_{0},\ C_{1}$为常数。重新编排，

$x'={\sqrt {\frac {C_{0}^{2}}{1-C_{0}^{2}}}}=r$，

$y'={\sqrt {\frac {C_{1}^{2}}{1-C_{1}^{2}}}}=s$。

再积分，

$x(t)=rt+r'$，

$y(t)=st+s'$。

代入初始条件

$(x(0),\ y(0))=(0,\ 0)$，

$(x(1),\ y(1))=(a,\ b)$；

即可解得$(x(t),\ y(t))=(at,\ bt)$，是连接两点的一条线段。

另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得$L(y)$取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。

例二：两点之间最短曲线的另一种求解

另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = c与y(b) = d，并且沿着y所定义的曲线的道路长度最短。

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x,$

被积函数为

$L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}$

L的偏导数为

${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}$

以及

${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.$

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}:=A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}$

也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其图像为直线。

参阅

• 拉格朗日方程
• 变分法
• 作用量
• 哈密顿原理

参考书籍

• Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.