歐拉-拉格朗日方程式

歐拉-拉格朗日方程式（英語：Euler-Lagrange equation）為變分法中的一條重要方程式。它是一個二階偏微分方程式。它提供了求泛函的臨界值（平穩值）函數，換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法，與微積分差異的地方在於，泛函的定義域為函數空間而不是 $\mathbb {R} ^{n}$。

該方程式由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉與意大利數學家約瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。

第一方程式

設$f=f(x,\ y,\ z)$，以及$f_{y},\ f_{z}$在$[a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}$中連續，並設泛函

$J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$。

若$y\in C^{1}[a,\ b]$使得泛函$J(y)$取得局部平穩值，則對於所有的$x\in (a,\ b)$，

${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}f(x,y,y')={\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,y')$。

推廣到多維的情況，記

${\vec {y}}(x)=(y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x))$，

${\vec {y}}'(x)=(y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))$，

$f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')=f(x,y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x),y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))$。

若${\vec {y}}'(x)\in (C^{1}[a,b])^{n}$使得泛函$J({\vec {y}})=\int _{a}^{b}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')dx$取得局部平穩值，則在區間$(a,\ b)$內對於所有的$i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n$，皆有

${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')={\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')$。

第二方程式

設$f=f(x,\ y,\ z)$，及$f_{y},\ f_{z}$在$[a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}$中連續，若$y\in C^{1}[a,\ b]$使得泛函$J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx$取得局部平穩值，則存在一常數$C$，使得

$f(x,y,y')-y'(x)f_{y\,'}(x,y,y')=\int _{a}^{x}f_{x}(x(t),y(t),y'(t))dt+C$。

例子

例一：兩點之間最短曲線

設$(0,\ 0)$及$(a,\ b)$為直角坐標上的兩個固定點，欲求連接兩點之間的最短曲線。設$(x(t),\ y(t))(t\in [0,\ 1])$，並且

$(x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)$；

這裏，$(x(t),\ y(t))\in C^{1}[0,\ 1]$為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為

$L(y)=\int _{0}^{1}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}dt$。

現設

${\vec {y}}(t)=(x(t),\ y(t))$，

$f(t,\ {\vec {y}}(t),\ {\vec {y}}'(t))={\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}$，

取偏微分，則

$f_{x'}={\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}$，

$f_{y'}={\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}$，

$f_{x}=f_{y}=0$。

若$y$使得$L(y)$取得局部平穩值，則$y$符合第一方程式：

${\frac {d}{dt}}f_{x'}(t,y,y')=f_{x}(t,y,y')=0$，

${\frac {d}{dt}}f_{y'}(t,y,y')=f_{y}(t,y,y')=0$。

因此，

${\frac {d}{dt}}{\frac {x'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0$，

${\frac {d}{dt}}{\frac {y'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0$。

隨$t$積分，

${\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{0}$，

${\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{1}$；

這裏，$C_{0},\ C_{1}$為常數。重新編排，

$x'={\sqrt {\frac {C_{0}^{2}}{1-C_{0}^{2}}}}=r$，

$y'={\sqrt {\frac {C_{1}^{2}}{1-C_{1}^{2}}}}=s$。

再積分，

$x(t)=rt+r'$，

$y(t)=st+s'$。

代入初始條件

$(x(0),\ y(0))=(0,\ 0)$，

$(x(1),\ y(1))=(a,\ b)$；

即可解得$(x(t),\ y(t))=(at,\ bt)$，是連接兩點的一條線段。

另經過其他的分析，可知此解為唯一解，並且該解使得$L(y)$取得極小值，所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。

例二：兩點之間最短曲線的另一種求解

另一個例子同樣是求定義在區間[a, b]上的實值函數y滿足y(a) = c與y(b) = d，並且沿着y所定義的曲線的道路長度最短。

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x,$

被積函數為

$L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}$

L的偏導數為

${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}$

以及

${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.$

把上面兩式代入歐拉-拉格朗日方程式，可以得到

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}:=A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}$

也就是說，該函數的一階導數必須為常值，因此其圖像為直線。

參閱

• 拉格朗日方程式
• 變分法
• 作用量
• 哈密頓原理

參考書籍

• Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.