线性代数中,正交变换线性变换的一种。如果对于任意向量其内积等于正交变换后之向量之内积,则称之为正交变换。

按照长度的定义,可知正交变换后的向量长度与变换前的长度相同[1]

其中在空间内,表示维度。

其中为向量长度,分别为之元素,正交变换不会影响变换前后向量间的夹角和内积长度。

在矩阵表示形式上,如果为正交变换,则为正交矩阵,对于正交变换之正交矩阵,其每个列互为正交,令之矩阵,取两个不相同的列 ()遵守下列关系。

性质

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1. 正交变换 不会改变向量间的正交性,如果  正交,则  亦为正交。

 

根据勾股定理,正交变换后的向量会符合下式:

 

因为正交变换属于线性变换:

 

正交变换前后向量的长度相同:

 

再根据勾股定理,且和正交:

 

再根据正交变换的性质,正交变换前后向量的长度相同:

 

2. 如果  皆为正交矩阵,则 亦为正交矩阵。

 

令一正交变换为:

 

正交变换后长度不变:

 

3. 如果 为正交矩阵, 的反矩阵 亦为正交矩阵。

 

令一正交变换为:

 

单位矩阵  相乘为 自己,且矩阵和反矩阵相乘为单位矩阵:

 

正交变换后长度不变:

 

4. 正交变换容易做反运算

 

令ㄧ正交矩阵   相乘为一对角矩阵 ,其中上标 表示Hermitain运算。

 

 乘上自己的反矩阵 可得一单为矩阵 

 

 可分解为  

 

根据上式,将两侧乘上 的反矩阵 即可得知的反矩阵知公式。

 

计算 的反矩阵 比直接求反矩阵容易,只要相对角线之值做倒数即可。如果 的每一行皆为单位向量,则:

 

5. 对于正交变换 ,如果  可以做内积,  做内积之值等于  做内积之值。[2]

 

根据极化恒等式:

 

将上式代入  

 

因为 为线性变换,变换前做加减法和变换后做加减法之值应相同:

 

正交变换前后向量的长度相同:

 

再根代入  之据极化恒等式:

 

范例和应用

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正交变换的种类非常的广,像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都属于正交变换。对矩阵做旋转或是镜射也属于正交变换。这里会举出一些简单的正交变换例子。

1. 对于 以subspace  为基准做镜射(  in  ),令 为平行之向量, 为正交之向量[2]

 

因为  互为正交,可以根据勾股定理做分解:

 

2. 这里以DFT为例证明DFT矩阵为正交矩阵,对于 点DFT,可得一个 矩阵,且 

 

 为symmetric矩阵,令的 每个列为:

 

令任意二列做内积:

 

上式可以化成pulse function,只有列和自己做内积才为 ,即:

 

3. 正交变换可以参数计算变得容易,令 为正交矩阵的列,列彼此互相正交, 而为 对应之参数,即给定下式中的  ,参数 之值可以很容易的计算出来。

 

如果要求出 ,则将上式与 做内积:

 

因为在 时,  做内积为0,可得下式:

 

最后同除 即可得到对应之参数:

 

4. 在讯号压缩上,对于原始讯号:

 

假设进行压缩,要压缩成:

 

 时, 越大, 越小

5. 在通讯应用上,会利用正交基来和讯号做调变,正交的特性会使通道间不会互相干扰。

参见

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参考文献

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  1. ^ ORTHOGONAL TRANSFORMATIONS AND ORTHOGONAL MATRICES (PDF). [2017-06-29]. (原始内容存档 (PDF)于2018-05-17). 
  2. ^ 2.0 2.1 Orthogonal Transformations and Orthogonal Matrices (PDF). [2017-06-29]. 

3. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP15.pdf页面存档备份,存于互联网档案馆

4. Chang, C.H. (2004). Linear Algebra [PDF slides] http://staff.csie.ncu.edu.tw/chia/Course/LinearAlgebra/sec5-3.pdf页面存档备份,存于互联网档案馆

5. (2007). [PDF slides] http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic138287.files/Lesson15_-_Orthogonal_Transformations_and_Orthogonal_Matrices_slides.pdf