在線性代數中,正交轉換是線性轉換的一種。如果對於任意向量
和
其內積等於正交轉換後之向量
和
之內積,則稱之為正交轉換。
按照長度的定義,可知正交轉換後的向量長度與轉換前的長度相同[1]。
其中
在空間
內,
表示維度。
其中
為向量長度,
和
分別為
和
之元素,正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。
在矩陣表示形式上,如果
為正交變換,則為
正交矩陣,對於正交變換之正交矩陣
,其每個列互為正交,令
為
之矩陣,取兩個不相同的列
和
(
)遵守下列關係。
1. 正交變換 不會改變向量間的正交性,如果 和 正交,則 和 亦為正交。
根據畢氏定理,正交變換後的向量會符合下式:
因為正交變換屬於線性轉換:
正交變換前後向量的長度相同:
再根據畢氏定理,且和正交:
再根據正交變換的性質,正交變換前後向量的長度相同:
2. 如果 和 皆為正交矩陣,則 亦為正交矩陣。
令一正交變換為:
正交變換後長度不變:
3. 如果 為正交矩陣, 的反矩陣 亦為正交矩陣。
令一正交變換為:
單位矩陣 和 相乘為 自己,且矩陣和反矩陣相乘為單位矩陣:
正交變換後長度不變:
4. 正交變換容易做反運算
令ㄧ正交矩陣 , 和 相乘為一對角矩陣 ,其中上標 表示Hermitain運算。
將 乘上自己的反矩陣 可得一單為矩陣 。
又 可分解為 和
根據上式,將兩側乘上 的反矩陣 即可得知的反矩陣知公式。
計算 的反矩陣 比直接求反矩陣容易,只要相對角線之值做倒數即可。如果 的每一行皆為單位向量,則:
5. 對於正交變換 ,如果 和 可以做內積, 和 做內積之值等於 和 做內積之值。[2]
根據極化恆等式:
將上式代入 和 :
因為 為線性轉換,轉換前做加減法和轉換後做加減法之值應相同:
正交變換前後向量的長度相同:
再根代入 和 之據極化恆等式:
正交變換的種類非常的廣,像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。這裡會舉出一些簡單的正交變換例子。
1. 對於 以subspace 為基準做鏡射( in ),令 為平行之向量, 為正交之向量[2]:
因為 和 互為正交,可以根據畢氏定理做分解:
2. 這裡以DFT為例證明DFT矩陣為正交矩陣,對於 點DFT,可得一個 矩陣,且 :
為symmetric矩陣,令的 每個列為:
令任意二列做內積:
上式可以化成pulse function,只有列和自己做內積才為 ,即:
3. 正交變換可以參數計算變得容易,令 為正交矩陣的列,列彼此互相正交, 而為 對應之參數,即給定下式中的 和 ,參數 之值可以很容易的計算出來。
如果要求出 ,則將上式與 做內積:
因為在 時, 和 做內積為0,可得下式:
最後同除 即可得到對應之參數:
4. 在訊號壓縮上,對於原始訊號:
假設進行壓縮,要壓縮成:
當 時, 越大, 越小
5. 在通訊應用上,會利用正交基來和訊號做調變,正交的特性會使通道間不會互相干擾。