隶属函数

(重定向自歸屬函數

隶属函数membership function)也称为归属函数模糊元函数,是模糊集合中会用到的函数,是一般集合指示函数的一般化[1]。指示函数可以说明一个集合中的元素是否属于特定子集合。一元素的指示函数的值可能是0或是1,而一元素的隶属函数会是0到1之间的数值,表示元素属于某模糊集合的“真实程度”(degree of truth)。

例如质数为一集合,整数3属于质数,其指示函数为1,整数4不属于质数,其指示函数为0。但针对模糊集合,可能不会有如此明确的定义,假设胖子是模糊集合,可能体重80公斤的人其隶属函数为0.9,体重70公斤的人其隶属函数为0.8。

隶属函数数值是在0到1之间,看似类似几率,但两者是不同的概念。

隶属函数最早是由卢菲特·泽德在1965年第一篇有关模糊集合的论文中提及,他在模糊集合的论文中,提出用值域在0到1之间的隶属函数,针对定义域中所有的数值定义。

定义

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针对集合 ,集合 上的隶属函数是将集合 映射到单位实数区间 的函数。

 集合上的隶属函数对应 集合中的模糊子集。对应模糊集合 的隶属函数一般会用 来表示。针对集合中的元素  的数值称为 对应模糊集合 的隶属度,表示符合模糊集合 的程度。0表示元素 不是模糊集合的元素,1表示元素 是模糊集合的元素,0到1之间的值表示此元素部分符合模糊集合。

 
模糊集合的隶属函数

有时[2]会用一个更通用的定义,隶属函数的值可以是任意的固定代数或是数学结构中取值 ,一般会要求 至少是偏序关系或是格 (数学)。一般值在[0, 1]之间的隶属函数此时会称为[0, 1]-值隶属函数。

容度

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隶属函数的一个应用是在决策理论中的容度(capacity)。

决策理论中,容度定义为函数 ,其定义域S是某个集合的子集,值域为 ,函数 满足集合定义上的单调而且正规化(也就是 )。这是广义的几率量测英语Probability measure,其中可数可加性的概率公理不一定要成立。容度用来表示某一事件可能性的量测,而特定结果下,其容度的期望值可以对容度作Choquet积分英语Choquet integral求得。

相关条目

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参考资料

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  1. ^ Timothy J. Ross. Fuzzy Logic with Engineering Applications. John Wiley & Sons. 8 April 2005: 178–. ISBN 978-0-470-86076-2. 
  2. ^ 最早是Goguen (1967).

参考书籍

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  • Zadeh L.A., 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
  • Goguen J.A, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174