泊松求和公式

泊松求和公式英文Poisson Summation Formula)由法国数学家泊松所发现,它陈述了一个连续时间的信号,做无限多次的周期复制后,其傅立叶级数与其傅立叶转换之间数值的关系,亦可用来求周期信号的傅立叶转换。

公式

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设无周期函数 具有傅里叶变换

 

这里的 也可以替代表示为  。有如下基本的泊松求和公式:

 

对于二者通过周期求和英语Periodic summation而得到的周期函数

 
 

这里的参数 并且 ,它们有着同 一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式[1][2]

 

这是一个傅里叶级数展开,其系数是函数 的采样。还有:

 

这也叫做离散时间傅里叶变换

推导泊松求和公式所需的先备公式

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考虑狄拉克δ函数 ,制作一个有无限多个 ,且间隔为 的周期函数 

其傅立叶转换为①  

证明①转换对

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 =  = 

证明②转换对

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 为周期函数 的傅立叶级数。

 可表示为 

傅立叶级数得:

 

因此, 

得到等式:  

经由适当的变量代换,  代换,  代换,得 (因为n从负无限大到正无限大)

推导泊松求和公式

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从对频域做取样寻找关系式

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 时,得 

表示一个信号的在时域以 为间隔做取样,在频域以 为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有 倍的关系。


从对时域做取样寻找关系式

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 时,得 

表示一个信号的在时域以 为间隔做取样,在频域以 为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有 倍的关系。


综合上述,若时域取样间隔 时,同样地,频域取样间隔 时,得泊松求和公式 

周期信号的傅立叶转换

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考虑一个周期为 的周期信号   傅立叶转换,取出g(t)在区间 的一个完整周期 ,亦即   傅立叶转换,其中 矩形函数  傅立叶级数

 

 

 

 

得出一周期信号的傅立叶转换与其傅立叶级数之间的关系。

引用

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  1. ^ Pinsky, M., Introduction to Fourier Analysis and Wavelets., Brooks Cole, 2002, ISBN 978-0-534-37660-4 
  2. ^ Zygmund, Antoni, Trigonometric Series 2nd, Cambridge University Press, 19681988, ISBN 978-0-521-35885-9 

延伸阅读

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