泊松求和公式

泊松求和公式英文Poisson Summation Formula)由法國數學家泊松所發現,它陳述了一個連續時間的信號,做無限多次的週期複製後,其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係,亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

公式

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设无周期函数 具有傅里叶变换

 

这里的 也可以替代表示为  。有如下基本的泊松求和公式:

 

对于二者通过周期求和英语Periodic summation而得到的周期函数

 
 

这里的参数 并且 ,它们有着同 一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式[1][2]

 

这是一个傅里叶级数展开,其系数是函数 的采样。还有:

 

这也叫做离散时间傅里叶变换

推導泊松求和公式所需的先備公式

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考慮狄拉克δ函數 ,製作一個有無限多個 ,且間隔為 的週期函數 

其傅立葉轉換為①  

證明①轉換對

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 =  = 

證明②轉換對

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 為週期函數 的傅立葉級數。

 可表示為 

傅立葉級數得:

 

因此, 

得到等式:  

經由適當的變量代換,  代換,  代換,得 (因為n從負無限大到正無限大)

推導泊松求和公式

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從對頻域做取樣尋找關係式

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 時,得 

表示一個信號的在時域以 為間隔做取樣,在頻域以 為間隔做取樣,則兩者的所有取樣點的總和會有 倍的關係。


從對時域做取樣尋找關係式

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 時,得 

表示一個信號的在時域以 為間隔做取樣,在頻域以 為間隔做取樣,則兩者的所有取樣點的總和會有 倍的關係。


綜合上述,若時域取樣間隔 時,同樣地,頻域取樣間隔 時,得泊松求和公式 

週期信號的傅立葉轉換

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考慮一個週期為 的週期信號   傅立葉轉換,取出g(t)在區間 的一個完整週期 ,亦即   傅立葉轉換,其中 矩形函數  傅立葉級數

 

 

 

 

得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。

引用

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  1. ^ Pinsky, M., Introduction to Fourier Analysis and Wavelets., Brooks Cole, 2002, ISBN 978-0-534-37660-4 
  2. ^ Zygmund, Antoni, Trigonometric Series 2nd, Cambridge University Press, 19681988, ISBN 978-0-521-35885-9 

延伸阅读

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