数学中,我们可以构造任意李代数 泛包络代数 。李代数一般并非结合代数,但泛包络代数则是带乘法单位元的结合代数。李代数的表示理论可以理解为其泛包络代数的表示理论。在几何上,泛包络代数可以解释为李群上的左不变微分算子。

泛性质

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以下固定  。首先注意到:对任意带乘法单位元的  -结合代数  ,定义括积  ,可视   为李代数。

泛包络代数系指带单位元的结合代数   及一个指定的李代数同态  。这对资料由下述泛性质刻划:

对任意带乘法单位元的  -结合代数  , 若存在李代数同态

 

则存在唯一的代数同态

 

使之满足

 

换言之,函子   满足下述关系:

 
 

借此,可视   (单位结合代数) (李代数)的左伴随函子

构造方式

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首先考虑张量代数  ,此时有自然的包含映射  。取   为下列元素生成的双边理想

 

定义

 

所求的映射    与商映射的合成。容易验证   保存李括积。

根据上述构造,可直接验证所求的泛性质。

基本性质

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  •   可交换,则   亦然;此时   同构于多项式代数。
  •   来自李群  ,则   可理解为   上的左不变微分算子。
  •   的中心   显然包含  ,但不仅如此,通常还包括更高阶的元素,例如喀希米尔元素;这种元素给出李群上的拉普拉斯算子

庞加莱-伯克霍夫-维特定理

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庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包络代数的根本定理之一。取定有限维李代数   的基  ,此定理断言

 

  的基。此定理的直接推论是:  为单射。

表示理论

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在泛性质中取  ,其中   为任意向量空间,遂可等同   的表示与   的表示,后者不外是  -。借此观点,李代数表示理论可视为模论的一支。

群代数之于群表示一如泛包络代数之于李代数的表示。两者都具有霍普夫代数结构。

文献

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  • Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6