无限深方形阱

物理学里,无限深方形阱(infinite square potential),又称为无限深位势阱(infinite potential well),是一个阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大的位势阱。思考一个或多个粒子,永远地束缚于无限深位势阱内,无法逃出。关于这些粒子的量子行为的问题,称为无限深方形阱问题,又称为无限深位势阱问题盒中粒子问题(particle in a box problem),是一个理论问题。假若,阱内只有一个粒子,则称为单粒子无限深方形阱问题。假若,阱内有两个粒子,则称为双粒子无限深方形阱问题。假若,这两个粒子是完全相同的粒子,则问题又复杂许多,称为双全同粒子无限深方形阱问题。在这里,只讨论单粒子无限深方形阱问题。

处于盒子里的粒子可以自由移动于无法穿越的阱壁内。当阱壁之间距离很微小的时候,可以观察到量子效应。例如,粒子在某位置的概率比在另外位置的概率大,粒子的能级是离散的。

经典力学里,应用牛顿运动定律,可以非常容易地求得无限深方形阱问题的解答。假设粒子与阱壁的碰撞弹性碰撞,粒子的动能保持不变。则这粒子在方形阱的两阱壁之间来回移动,碰撞来,碰撞去,而速率始终保持不变。在任意时间,粒子在阱内各个位置的概率是均匀的。

量子力学里,这问题突然变得很有意思。许多基要的概念,在这问题的解析中,呈现了出来。由于问题的理想化与简易化,应用薛定谔方程,可以很容易地,虽然并不是很直觉地,求得解答。满足这薛定谔方程的能量本征函数,是表达粒子量子态波函数。每一个能量本征函数的能量,只能是离散能级谱中的一个能级。很令人惊讶的是,离散能级谱中最小的能级不是 0 ,而是一个有限值,称为零点能量!这系统的最小能级量子态的能级不是 0 。

更加地,假若测量粒子的位置,则会发现粒子在阱内各个位置的概率大不相同。在有些位置,找到粒子的概率是 0 ,绝对找不到粒子。这些结果与经典力学的答案迥然不同。可是,这些结果所根据的原理,早已在许多精心设计的实验中,广泛地证明是正确无误的。

简介

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一个一维无限深方形阱,阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大。

在量子力学里,无限深方形阱问题是一个简单化的,理想化的问题。无限深方形阱是一个有限尺寸的位势阱,阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大。在阱内,粒子感受不到任何作用力,可以自由的移动于阱内。可是,阱壁是无限的高,粒子完全地束缚于阱内。为了删繁就简,先从一维问题开始,研讨粒子只移动于一维空间的问题。之后,可推广至二维与三维空间。

这问题的薛定谔方程解答,明确地呈现出粒子的某些量子行为。这些量子行为与实验的结果相符合;可是,与经典力学的理论预测,有很大的冲突。特别令人注目地是,这量子行为是自然地从边界条件产生的,而不是人为勉强加添造成的。这解答干净俐落地展示出,任何类似的物理系统,自然地会产生量子行为;与平常的想法恰恰相反,量子行为不是像变魔术一般变出来的。

无限深方形阱问题的粒子的量子行为包括:

  1. 能量量子化: 表达粒子量子态的能量本征函数,其伴随的能量不是任意值,而只能是离散能级谱中的一个能级。
  2. 零点能量: 粒子最小的允许能级,称为零点能量,不是 0 。
  3. 波节点: 恰恰与经典力学相反,薛定谔方程预测会有波节的存在。这意味着在阱内某些地方,找到粒子的概率是零。

不论这问题有多么地简单,由于能够完全地解析其薛定谔方程,这问题可以导致对量子力学有更深刻的理解。实际上,这问题也非常的重要。无限深方形阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统。例如,一个导电电子在一根直的,极细的奈米金属丝内的量子行为[来源请求]。更详细内容,请参阅条目奈米线

一维阱

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在一维无限深方形阱内,粒子的能级与伴随的波函数。
 
在一维无限深方形阱内,找到能级为   的粒子的概率。

一个粒子束缚于一维无限深方形阱内,阱宽为   。阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向(   方向)。如图示,一维无限深方形阱的本征函数   与本征值   分别为

 
 

其中,  是正值的整数, 普朗克常数  是粒子质量。

导引

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一维不含时薛定谔方程可以表达为

  (1)

其中,  是复值的、不含时间的波函数  是跟位置有关的位势,  是正值的能量。

在阱内,位势   。一维不含时薛定谔方程约化为

  (2)

这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数  本征值  

  (3a)
  (3b)

其中,   是常数,可以是复值,  是实值的波数(因为   是正值的,所以,  必须是实数。)。

为了求得一般解   的常数    ,与波数   的值,必须具体表明这问题的边界条件。由于粒子趋向于位势低的地区,位势越高,找到粒子的概率   越小。在    两个阱壁位置,位势无限的高,找到粒子的概率是微乎其微:  。所以,边界条件是

 (4)

代入方程 (3a) 。在   ,可以得到

 (5)

  ,可以得到

 (6)

方程 (6) 的一个简易解是   。可是,这样,波函数是   。这意味着一个不可能的物理答案:粒子不在阱内!所以,不能接受这简易解。设定   ,则   。那么,必须要求

  ;(7)

其中,整数  

注意到   状况必须被排除,因为,不能容许波函数是   的物理答案:粒子不在阱内!

为了求得   值,波函数需要归一化,一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方:

 

常数   的值为

 (8)

常数   可以是任何复数,只要绝对值等于  ;可是,这些不同值的   都对应于同样的物理状态。所以,为了方便计算,选择  

 
盒中粒子(黑色粗点)和自由粒子(灰色曲线)的能量都同样地跟波数有关。但是,盒中粒子只能带有离散的能量。

最后,将方程 (7) ,(8) 代入方程 (3a) ,(3b) 。一维无限深方形阱问题的能量本征方程与能量本征值(能级)是

 
 
  • 如同前面所述,此问题只容许量子化的能级。由于   ,最低的能级,称为零点能量,大于 0 。这答案可以用不确定原理解释。因为粒子束缚于有限的区域,位置变异数有上界。所以,粒子的动量的变异数大于 0 ,粒子必须拥有能量。这能量随着阱宽的减小而增加。
  • 很重要的一点是,虽然表达粒子量子态的能量本征函数,其能量只能是离散能级谱中的一个能级。这并不能防止粒子拥有任意的能量,只要这能量大于零点能量。根据态叠加原理,粒子的量子态,可以是几个能量本征函数的叠加。当测量粒子的能量时,测量的答案,只可能是叠加的几个能级中的一个能级。由于测量会造成波函数坍缩,不能对同一个粒子做多次的测量,而指望得到有意义的答案。必须假设准备了许多同样的系统。对每一个系统内的粒子,做同样的测量。虽然,每一次的测量的答案,只可能是叠加的几个能级中的一个能级。所有答案的的平均值,是粒子的能量期望值

启发导引

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能量本征值的公式可以启发地被推导出来。试想,两个阱壁必定是波函数的波节。这意味着,阱宽必须刚好能够容纳半个波长的整数倍:

 

其中,  是波长,  是正值的整数。

应用德布罗意假说,粒子的动量  

 

代入联系能量与动量的经典公式,则可以得到系统的能量本征值。

 

二维阱

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二维无限深方形阱的波函数., 

一个粒子束缚于二维无限深方形阱内,阱宽在    方向,分别为    。阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向(    方向)。二维无限深方形阱的本征函数   与本征值   分别为

 
 

其中,   是正值的整数。

导引

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在这二维的问题里,粒子束缚于一个二维位势阱内,在阱内,二维的解答方程与方程 (2) 类似,是一个二阶偏微分方程

 

应用分离变数法 。首先,假设   是两个不相关的函数    的乘积,  只含有变数    只含有变数  

 

  的假设方程代入二维方程,则可得到

 

将这方程两边都除以   ,则可得到

 

由于方程左边圆括号内的两个项目    分别只跟    有关,两个项目分别都必须等于常数:

 
 

其中,   都是常数, 

这样,可以得到两个约化的一维薛定谔方程:

 
 

前面,已经解析了同样形式的一维薛定谔方程(方程 (2) )。将那里的答案移接到这里,

 
 

其中,整数   

将两个方程合并,可以得到解答:

 
 

三维阱

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同样地,应用分离变数法于三维阱问题,可以得到能量本征函数与能量本征值:

 
 

其中, 

当两个以上的阱宽相等的时候,对应于同样的总能量,会存在有多个不同的波函数。这状况称为简并,是由物理系统的对称性造成的。例如,假设 一个三维阱的   ,则     的波函数与     的波函数,两个波函数的能量相等。由于在这物理系统里,有两个阱宽相等,这物理系统对称于绕着 z-轴的   旋转。

参考文献

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  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 

参阅

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