海森伯群

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数学里,海森堡群是以维尔纳·海森堡来命名的,为如下之三阶上三角矩阵所组成的

元素abc可以取成某种交换环,一般会取成实数环或整数环。

例子

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连续海森堡群

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abc实数,则可得到一个连续海森堡群 H3(R)。其为一个幂零李群

离散海森堡群

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abc为整数,则可得到一个离散海森堡群 H3(Z)。其为一个非阿贝尔幂零群,有两个生成元

 

并满足关系

 

其中,

 

为 H3 中心之生成元。(x-1,y-1和z-1即分别将x,y和z主对角线上的1改为-1)

贝斯定理所述,其有一个4目的多项式增长率

模p海森堡群

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若取abcZ/pZ内,则可得到一个p 海森堡群。其为p3目的,其中有两个生成元xy,满足关系

 

一般海森堡群

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更一般性地,海森堡群可以由任何一个辛向量空间来建造。例如,令(V,ω)为一个有限维实辛向量空间(故ω为于V上之非退化反对称双线性形)。在(V,ω)(或简称V)上的海森堡群H(V)是一个附有群定律

 

的集合。

海森堡群是加法群V中心扩张。因此,会有一个正合序列

 

每一个辛向量空间都会允许有一个满足ω(ej,fk) = δjk达布基{ej,fk}1 ≤ j,kn。以此一基来叙述,每个向量都可以分解成

 

其中的qapa正则坐标

若{ej,fk}1 ≤ j,knV的一个达布基,然后令{ER的一个基,则{ej,fk, E}1 ≤ j,kn会是V×R的一个对应的基。一个在H(V)内的向量

 

可以等同于下列矩阵

 

因此便给出了一个H(V)的真实矩阵表示

和外尔代数的关连

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量子力学的外尔观点

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视为一子黎曼流形

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另见

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参考

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  • Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.