黑塞矩阵

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海森矩阵(德语:Hesse-Matrix;英语:Hessian matrixHessian),又译作黑塞矩阵海塞(赛)矩阵海瑟矩阵等,是一个由多变量实值函数的所有二阶偏导数组成的方阵,由德国数学家奥托·黑塞引入并以其命名。

定义

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假设有一实值函数 ,如果  的所有二阶偏导数都存在并在定义域内连续,那么函数 的黑塞矩阵为

 

或使用下标记号表示为

 

显然黑塞矩阵  是一个 方阵。黑塞矩阵的行列式被称为黑塞式(英语:Hessian),而需注意的是英语环境下使用Hessian一词时可能指上述矩阵也可能指上述矩阵的行列式[1]

性质

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高等数学知识可知,若一元函数  点的某个邻域内具有任意阶导数,则函数  点处的泰勒展开式

 

其中, 

同理,二元函数  点处的泰勒展开式为

 

其中,       

将上述展开式写成矩阵形式,则有

 

其中,   转置 是函数  梯度,矩阵

 

即函数  点处的 黑塞矩阵。它是由函数  点处的所有二阶偏导数所组成的方阵。

由函数的二次连续性,有

 

所以,黑塞矩阵 对称矩阵

将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数,函数  点处的泰勒展开式为

 

其中,  为函数  点的梯度,

 

为函数  点的 黑塞矩阵。若函数有 次连续性,则函数的 黑塞矩阵是对称矩阵。

说明:在优化设计领域中,黑塞矩阵常用 表示,且梯度有时用 表示。[2]

函数 的黑塞矩阵和雅可比矩阵有如下关系:

 

即函数 的黑塞矩阵等于其梯度的雅可比矩阵。

应用

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函数的极值条件

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对于一元函数 ,在给定区间内某 点处可导,并在 点处取得极值,其必要条件

 

即函数 的极值必定在驻点处取得,或者说可导函数 的极值点必定是驻点;但反过来,函数的驻点不一定是极值点。检验驻点是否为极值点,可以采用二阶导数的正负号来判断。根据函数  点处的泰勒展开式,考虑到上述极值必要条件,有

 

  点处取得极小值,则要求在 某一邻域内一切点 都必须满足

 

即要求

 

亦即要求

 

  点处取得极大值的讨论与之类似。于是有极值充分条件

设一元函数  点处具有二阶导数,且  ,则

  1.  时,函数  处取得极小值;
  2.  时,函数  处取得极大值。

而当 时,无法直接判断,还需要逐次检验其更高阶导数的正负号。由此有一个规律:若其开始不为零的导数阶数为偶数,则驻点是极值点;若为奇数,则为拐点,而不是极值点。

对于二元函数 ,在给定区域内某 点处可导,并在 点处取得极值,其必要条件

 

 

同样,这只是必要条件,要进一步判断 是否为极值点需要找到取得极值的充分条件。根据函数  点处的泰勒展开式,考虑到上述极值必要条件,有

 

   ,则

 

 

  点处取得极小值,则要求在 某一邻域内一切点 都必须满足

 

即要求

 

亦即要求  


 

 

此条件反映了  点处的黑塞矩阵 的各阶主子式都大于零,即对于

 

要求
 


 

  点处取得极大值的讨论与之类似。于是有极值充分条件:

设二元函数  点的邻域内连续且具有一阶和二阶连续偏导数,又有 ,同时令   ,则

  1.   时,函数  处取得极小值;
  2.   时,函数  处取得极大值。

此外可以判断,当 时,函数  点处没有极值,此点称为鞍点。而当 时,无法直接判断,对此,补充一个规律:当 时,如果有 ,那么函数  有极值,且当 有极小值,当 有极大值。

由线性代数的知识可知,若矩阵 满足
 

 

则矩阵 正定矩阵,或者说矩阵 正定。

若矩阵 满足
 

 

则矩阵 负定矩阵,或者说矩阵 负定。[3]

于是,二元函数  点处取得极值的条件表述为:二元函数  点处的黑塞矩阵正定,则取得极小值;在 点处的黑塞矩阵负定,则取得极大值。

对于多元函数 ,若在 点处取得极值,则极值存在的必要条件为

 

取得极小值的充分条件为

 

正定,即要求 的各阶主子式都大于零,即
 


 

 

 
取得极大值的充分条件为

 

负定。[4][5][6]

拓展阅读

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参考文献

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  1. ^ Binmore, Ken; Davies, Joan. Calculus Concepts and Methods. Cambridge University Press. 2007: 190. ISBN 9780521775410. OCLC 717598615. 
  2. ^ 白清顺; 孙靖明; 梁迎春 (编). 机械优化设计(第6版). 北京: 机械工业出版社. 2017.6(2018.11重印): 35~36页. ISBN 978-7-111-56643-4. 
  3. ^ 刘二根; 谢霖铨 (编). 线性代数. 江西高校出版社. 2015.7: 164~166页. ISBN 978-7-5493-3588-6. 
  4. ^ 白清顺; 孙靖明; 梁迎春 (编). 机械优化设计(第6版). 北京: 机械工业出版社. 2017.6(2018.11重印): 37~39页. ISBN 978-7-111-56643-4. 
  5. ^ 同济大学数学系 (编). 高等数学(第七版)上册. 高等教育出版社. 2014.7: 155页. ISBN 978-7-04-039663-8. 
  6. ^ 同济大学数学系 (编). 高等数学(第七版)下册. 高等教育出版社. 2014.7: 113页. ISBN 978-7-04-039662-1.