在线性代数中,对称矩阵(英语:symmetric matrix)指转置矩阵和自身相等方形矩阵。
线性代数
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线(左上至右下)为轴进行对称。若将其写作,则对所有的i和j,
下列是3×3的对称矩阵:
- 对于任何方形矩阵 , 是对称矩阵。
- 为方形矩阵是 为对称矩阵的必要条件,即对称矩阵行数必等于列数。
- 对角矩阵都是对称矩阵。
- 当且仅当两者的乘法可交换(即 )时,两个对称矩阵的积( )是对称矩阵。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。[来源请求]
- 任何方形矩阵 ,如果它的元素属于一个特征不为2的域(例如实数),可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和:
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- 每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积,每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
- 若对称矩阵 的每个元素均为实数, 是实对称矩阵。
- 一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
- 如果X是对称矩阵,那么 也是对称矩阵.
实对称矩阵
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黑塞矩阵
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实对称n × n矩阵出现在二阶连续可微的n元函数的黑塞矩阵之中。
Rn上的每一个二次型q都可以唯一写成q(x) = xTAx的形式,其中A是对称的n × n矩阵。于是,根据谱定理,可以说每一个二次型,不考虑Rn的正交基的选择,“看起来像”:
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其中λi是实数。这大大简化了二次型的研究,以及水平集{x : q(x) = 1}的研究,它们是圆锥曲线的推广。
这是很重要的,部分是由于每一个光滑的多元函数的二阶表现,都由属于该函数的黑塞矩阵的二次型描述;这是泰勒定理的一个结果。
可对称化矩阵
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与不等式的关系
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对称阵 Z 分解为3行3列:
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当且仅当
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时, 存在 , 使得
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成立。
参考文献
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- ^ A. J. Bosch. The factorization of a square matrix into two symmetric matrices. American Mathematical Monthly. 1986, 93: 462–464. doi:10.2307/2323471.