滑动模式观测器

滑动模式观测器（Sliding mode observer）是应用滑动模式控制的状态观测器，应用滑动模式控制的技术，使观测器的状态可以接近受控体的状态。

滑动模式控制属于非线性控制，滑动模式观测器会有非线性高增益观测器的特性，可以在有限时间内将观测器的误差收敛到零。此外，切换模式的观测器类似卡尔曼滤波，可以允许一些程度的量测噪声。

线性滑动模式观测器

以下将线性时不变系统的龙贝格观测器（ Luenberger observer），修改为滑动模式观测器。在滑动模式观测器中，若进入滑动模式，观测器动态的阶数会减一。在以下例子中，单一估测状态的状态误差可以在有限时间内收敛到零。Drakunov最早提出，非线性系统可以建立滑动模式观测器，让所有估测状态的估测误差都在有限时间（而且是任意短的时间内）收敛到零。

考虑以下的LTI系统

${\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u} \\y={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &\end{bmatrix}}\mathbf {x} =x_{1}\end{cases}}$

其中状态向量$\mathbf {x} \triangleq (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$, $\mathbf {u} \triangleq (u_{1},u_{2},\dots ,u_{r})\in \mathbb {R} ^{r}$是输入向量，输出utput y是标量，等于$\mathbf {x}$状态向量的第一个状态。令

$A\triangleq {\begin{bmatrix}a_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}$

其中

• $a_{11}$是标量，对应第一个状态$x_{1}$对自己的影响
• $A_{21}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}$是行向量，对应第一个状态对其他状态的影响
• $A_{22}\in \mathbb {R} ^{(n-1)\times (n-1)}$是矩阵，对应其他各状态彼此之间的影响
• $A_{12}\in \mathbb {R} ^{1\times (n-1)}$是列向量，对应其他状态对第一个状态的影响

目的是要设计高增益的状态观测器，可以在只有量测资讯$y=x_{1}$的情形下，估测状态向量。因此，令向量${\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},\dots ,{\hat {x}}_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$是n状态的观测值，观测器的形式为

${\dot {\hat {\mathbf {x} }}}=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})$

其中$v:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$是估测状态${\hat {x}}_{1}$和输出$y=x_{1}$之间误差的非线性函数，$L\in \mathbb {R} ^{n}$是估测器增益向量，其作用类似典型的线性状态观测器。同样的，也令

$L={\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}$

其中$L_{2}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}$是列向量。另外，令$\mathbf {e} =(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$是状态估测误差，也就是说$\mathbf {e} ={\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x}$。误差的动态方程为

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {e} }}&={\dot {\hat {\mathbf {x} }}}-{\dot {\mathbf {x} }}\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})-A\mathbf {x} -B\mathbf {u} \\&=A({\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} )+Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A\mathbf {e} +Lv(e_{1})\end{aligned}}$

其中$e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}$是第一个状态估测值的估测误差。可以设计非线性控制律v控制滑动流形

$0={\hat {x}}_{1}-x_{1}$

使估测量${\hat {x}}_{1}$在有限时间内（也就是${\hat {x}}_{1}=x_{1}$）追到实际状态$x_{1}$。因此，滑动控制切换函数为

$\sigma ({\hat {x}}_{1},{\hat {x}})\triangleq e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}.$

为了要保持在滑动流形上，${\dot {\sigma }}$和$\sigma$需永远维持异号（$\sigma {\dot {\sigma }}<0$在几乎处处$\mathbf {x}$都要成立）。 不过

${\dot {\sigma }}={\dot {e}}_{1}=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(e_{1})=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(\sigma )$

其中$\mathbf {e} _{2}\triangleq (e_{2},e_{3},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{(n-1)}$ 是所有无法量测状态估测误差的集合。为了要确保$\sigma {\dot {\sigma }}<0$，令

$v(\sigma )=M\operatorname {sgn} (\sigma )$

其中

$M>\max\{|a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}|\}.$

也就是说，正的常数M需大于系统最可能估计误差的标量。若M够大，可以假设系统会达到$e_{1}=0$（也就是${\hat {x}}_{1}=x_{1}$）。因为在流形上$e_{1}$是常数（零），也可以推得${\dot {e}}_{1}=0$。因此不连续的控制律$v(\sigma )$可以用等效的连续控制律$v_{\text{eq}}$取代，其中

$0={\dot {\sigma }}=a_{11}{\mathord {\overbrace {e_{1}} ^{{}=0}}}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-{\mathord {\overbrace {v_{\text{eq}}} ^{v(\sigma )}}}=A_{12}\mathbf {e} _{2}-v_{\text{eq}}.$

因此

${\mathord {\underbrace {v_{\text{eq}}} _{\text{scalar}}}}={\mathord {\underbrace {A_{12}} _{1\times (n-1) \atop {\text{ vector}}}}}{\mathord {\underbrace {\mathbf {e} _{2}} _{(n-1)\times 1 \atop {\text{ vector}}}}}.$

等效的控制律$v_{\text{eq}}$代表剩下的$(n-1)$个状态对输出状态$x_{1}$轨迹的贡献。行向量$A_{12}$类似以下误差子系统的输出向量

${\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{2}\\{\dot {e}}_{3}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {e} }}_{2}}}}=A_{2}{\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}e_{2}\\e_{3}\\\vdots \\e_{n}\end{bmatrix}} ^{\mathbf {e} _{2}}}}+L_{2}v(e_{1})=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}v_{\text{eq}}=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}A_{12}\mathbf {e} _{2}=(A_{2}+L_{2}A_{12})\mathbf {e} _{2}.$

为了确保未量测状态的估测误差$\mathbf {e} _{2}$可以收敛到零，需选择$(n-1)\times 1$向量$L_{2}$使得$(n-1)\times (n-1)$矩阵$(A_{2}+L_{2}A_{12})$是赫维兹矩阵（其特征值实部均为负数）。假设系统有可观察性，可将$A_{12}$视为输出矩阵（C），则$\mathbf {e} _{2}$系统可以用和一般线性观测器相同的方式来稳定。也就是说，$v_{\text{eq}}$的等效控制可以提供未观测状态的量测资讯，可以连续地将其估测值渐近的趋近实际值。平均来说，不连续的控制律$v=M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x)$强制量测信号的估测量在有限时间内达到零。而且，平均值为零的对称量测噪声（正态分布）只会影响控制律v的切换频率，对等效滑动模式控制律$v_{\text{eq}}$的影响不大。因此，滑动模式观测器有类似卡尔曼滤波的特性。

最终版本的观测器为

${\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +LM\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+{\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}\\&=A_{\text{obs}}{\hat {\mathbf {x} }}+B_{\text{obs}}\mathbf {u} _{\text{obs}}\end{aligned}}$

其中

• $A_{\text{obs}}\triangleq A,$
• $B_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}},$
• $u_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}.$

用切换函数$\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})$来辅助控制向量$\mathbf {u}$，滑动模式观测器可以用LTI系统来表示。不连续信号$\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})$视为是双输入LTI的一个控制“输入”。

为了简化说明，这个例子假设滑动模式估测器可以量测单一状态（例如，输出$y=x_{1}$）。用类似的方式也可以用各状态的加权平均（例如，输出$\mathbf {y} =C\mathbf {x}$使用一般的矩阵C）来设计滑动模式估测器。此例子中，滑动模式就会是使估测输出${\hat {\mathbf {y} }}$追随量测输出$\mathbf {y}$，没有误差的流形（使$\sigma (\mathbf {x} )\triangleq {\hat {\mathbf {y} }}-\mathbf {y} =\mathbf {0}$的流形）。

非线性滑动模式观测器

Drakunov曾经提过，可以针对非线性系统设计滑动模式观测器。此观测器可以用原始变数的估测值${\hat {x}}$表示，型式如下

${\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))$

其中：

• $\operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})$向量将符号函数延伸到$n$维。也就是说

  $\operatorname {sgn}(z)={\begin{bmatrix}\operatorname {sgn}(z_{1})\\\operatorname {sgn}(z_{2})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{i})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{n})\end{bmatrix}}$

  针对向量$z\in \mathbb {R} ^{n}$.

• 向量$H(x)$的分量是输出函数$h(x)$以及其各阶李导数。其中

  $H(x)\triangleq {\begin{bmatrix}h_{1}(x)\\h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\L_{f}^{2}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}$

  其中$L_{f}^{i}h$是$h$沿着向量场$f$（也就是沿着非线性系统的$x$轨迹）的i阶李导数。在此特例中，系统没有输入，也没有相对次数（relative degree）n，$H(x(t))$是输出$y(t)=h(x(t))$以及其$n-1$次导数的集合。因为$H(x)$Jacobian线性化的倒数存在（让观测器可以有良好定义），$H(x)$的转换保证是局部的微分同胚。

• 增益对角矩阵 $M({\hat {x}})$ 会使下式成立

  $M({\hat {x}})\triangleq \operatorname {diag} (m_{1}({\hat {x}}),m_{2}({\hat {x}}),\ldots ,m_{n}({\hat {x}}))={\begin{bmatrix}m_{1}({\hat {x}})&&&&&\\&m_{2}({\hat {x}})&&&&\\&&\ddots &&&\\&&&m_{i}({\hat {x}})&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&m_{n}({\hat {x}})\end{bmatrix}}$

  其中，针对每一个$i\in \{1,2,\dots ,n\}$，元素$m_{i}({\hat {x}})>0$ 　而且够大，以保证会碰到滑动模式。

• 观测器向量$V(t)$会满足下式

  $V(t)\triangleq {\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\\v_{3}(t)\\\vdots \\v_{i}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}y(t)\\\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\{m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{i-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i-1}(t)-h_{i-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\end{bmatrix}}$

  其中的$\operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})$是正常对标量定义的符号函数，而$\{\ldots \}_{\text{eq}}$是不连续函数在滑动模式下的“等效值运算子”。

概念可以说明如下：依照滑动模式的理论，为了要描述系统特性，只要开始进入滑动模式，函数$\operatorname {sgn}(v_{i}(t)\!-\!h_{i}({\hat {x}}(t)))$就需要改为定效的值实务上，函数会高频的切换，其慢速的成分会和等效值相等。应用适当的低通滤波器可以滤掉高频成分，得到等效值，其中也会有较多有关估测系统状态的资讯。以下的观测器用了几次上述的作法，在有限时间内会得到非线性系统的状态。

修改后的估测器误差以用转换后的状态$e=H(x)-H({\hat {x}})$表示。

${\begin{aligned}{\dot {e}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t))),\end{aligned}}$

而且

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{1}\\{\dot {e}}_{2}\\\vdots \\{\dot {e}}_{i}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n-1}\\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}}&={\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {h}}_{1}(x)\\{\dot {h}}_{2}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{i}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{n-1}(x)\\{\dot {h}}_{n}(x)\end{bmatrix}} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)}}}-{\mathord {\overbrace {M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t)))} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})}}}={\begin{bmatrix}h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{i+1}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\\L_{f}^{n}h(x)\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}m_{1}\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\\m_{2}\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{i}\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{n-1}\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\m_{n}\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}h_{2}(x)-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}({\mathord {\overbrace {{\mathord {\overbrace {v_{1}(t)} ^{v_{1}(t)=y(t)=h_{1}(x)}}}-h_{1}({\hat {x}}(t))} ^{e_{1}}}})\\h_{3}(x)-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{i+1}(x)-m_{i}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{n}(x)-m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\L_{f}^{n}h(x)-m_{n}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

因此

1. 只要$m_{1}({\hat {x}})\geq |h_{2}(x(t))|$, 误差动态的第一个行${\dot {e}}_{1}=h_{2}({\hat {x}})-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})$，会符合在有限时间进入$e_{1}=0$滑动模式的充份条件。
2. 在$e_{1}=0$表面上，对应的$v_{2}(t)=\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})\}_{\text{eq}}$等效控制会等于$h_{2}(x)$，因此$v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}})=h_{2}(x)-h_{2}({\hat {x}})=e_{2}$。只要$m_{2}({\hat {x}})\geq |h_{3}(x(t))|$，误差动态的第二个行${\dot {e}}_{2}=h_{3}({\hat {x}})-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{2})$，会在有限时间内进入$e_{2}=0$滑动模式。
3. 在$e_{i}=0$表面上，对应的$v_{i+1}(t)=\{\ldots \}_{\text{eq}}$等效控会等于$h_{i+1}(x)$。只要$m_{i+1}({\hat {x}})\geq |h_{i+2}(x(t))|$，误差动态的第$(i+1)$个行${\dot {e}}_{i+1}=h_{i+2}({\hat {x}})-m_{i+1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{i+1})$，会在有限时间内进入$e_{i+1}=0$滑动模式。

对于足够大的$m_{i}$增益，所有的观测器估测状态都会在有限时间内到实际的状态。只要$|h_{i}(x(0))|$有确定的上下界，增加$m_{i}$，可以在任意时间内让估测状态收敛。因此映射$H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$是微分同胚（也就是其Jacobian 线性化可逆）可以保证，若估测输出的收敛，就意味着估测状态的收敛。因此此要求是可观察性的条件。

若针对有输入系统的滑动模型观测器，会需要额外的条件，其估测误差和输入无关。例如

${\frac {\partial H(x)}{\partial x}}B(x)$

和时间无关。则观测器为

${\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))+B({\hat {x}})u.$