狄利克雷定理 (傅里叶级数)

此条目页的主题是数学分析中关于傅里叶级数的定理。关于数论中的狄利克雷定理，请见“狄利克雷定理”。

在数学分析中，狄利克雷定理（或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。

定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差函数。

定理的叙述

设 $f$ 为一个在$\mathbb {R}$上的周期性的局部可积函数，其周期为$2\pi$。给定 $x_{0}\in \mathbb {R}$，假设有以下条件成立：

1. 函数 $f$ 在 $x_{0}$ 处有左极限和右极限，分别记为 $f(x_{0}^{+})$ 和 $f(x_{0}^{-})$。
2. 存在正实数：$\alpha >0$，使得以下的两个积分收敛：

$\int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}+t)-f(x_{0}^{+})|}{t}}{\mathrm {d} }t,\qquad \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}-t)-f(x_{0}^{-})|}{t}}{\mathrm {d} }t$

那么，函数 $f$ 的傅里叶级数在$x_{0}$ 处收敛，并且有：

$\lim \limits _{n}(S_{n}f(x_{0}))={\frac {1}{2}}(f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-}))$

定理成立的一个特例是当函数 $f$ 在$x_{0}$ 处有左导数和右导数的时候，又或者是当函数是分段${\mathcal {C}}^{1}$函数（见光滑函数）的时候。

证明

定理的证明是基于以下事实：傅里叶函数可以通过卷积以及拥有良好性质的三角多项式：狄利克雷核来计算。

$D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},$

$S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)f(x-t)dt$

这里使用的是狄利克雷核的第二种形式：

$S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt$

这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数 ${\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}$ 在0附近并不一定可积。但是由于：

${\tilde {f}}(x)={\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}$

存在，可以考虑将区间$[-\pi ,0)$上的积分用$u=-t$换元，这样 $S_{n}(f)(x)$ 就变成：

$S_{n}(f)(x)=\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt$

因此：

$S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt-{\frac {1}{2}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)$

而由于狄利克雷核在区间$[-\pi ,\pi ]$上的积分平均值是1，也就是说：

$1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt=2\cdot {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt$

${\frac {1}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt$

因此：

${\begin{aligned}S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\\&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin {\frac {t}{2}}}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\end{aligned}}$

由条件二，以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理，因此可以对两边求极限，得到：

$\lim _{n\to \infty }S_{n}(f)(x)={\tilde {f}}(x)$

参见

• 傅里叶级数
• 狄利克雷核
• 费耶核

参考书籍

• （英文）Allan Pinkus,Samy Zafrany. Fourier series and integral transforms. Cambridge University Press. 1997. ISBN 9780521597715. p.46-52.
• （法文）Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Séries de Fourier et ondelettes. Cassini. 1998. ISBN 284225001X.