在数学中,瑞利商(英语:Rayleigh quotient)定义为:[1][2]

式中,为复埃尔米特矩阵为非零向量。对实矩阵和向量,对矩阵的埃尔米特矩阵要求退化为对称矩阵,对向量的共轭转置退化为转置

对所有非零标量成立。

埃尔米特矩阵(或实对称矩阵)只具有实特征值且可对角化,由此,对于给定矩阵,其瑞利商达到最小值λ(的最小特征值)当(最小特征值对应的特征向量);类似的:[2]

瑞利商使用最小最大定理英语Min-max_theorem(min-max theorem)获得所有特征值的精确值。它还用于特征值算法(如瑞利商迭代英语Rayleigh_quotient_iteration),从特征向量近似值中获得特征值近似值。

量子力学中,瑞利商给出了状态为的系统中算子观测值的期望

埃尔米特矩阵M的界

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对于任意向量 ,其瑞利商满足 ,其中 分别代表矩阵 的最小特征值和最大特征值。观察定义可知,矩阵 的瑞利商等价于其特征值的加权和: 其中 是第 个归一化后的特征值-特征向量对,  在特征基中的第 个坐标。可以验证,当 为矩阵 最小(最大)特征值对应的特征向量  )时, 取值达到其下(上)界。

参考文献

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  1. ^ 史, 荣昌; 魏, 丰. 矩阵分析. 北京: 北京理工大学. 2010: 144–147. ISBN 9787564031893. 
  2. ^ 2.0 2.1 张, 贤达. 矩阵分析与应用. 北京: 清华大学. 2013: 442–447. ISBN 9787302338598.