皮亚诺公理
公理系統
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皮亚诺公理(英语:Peano axioms;意大利语:Assiomi di Peano),也称皮亚诺公设,是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。[1]
内容
编辑皮亚诺的这五条公理用非形式化方法叙述如下:
- 0是自然数;
- 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数;
- 对于每个自然数b、c,b=c当且仅当b的后继数=c的后继数;
- 0不是任何自然数的后继数;
- 任意关于自然数的命题,如果证明:它对自然数0是真的,且假定它对自然数a为真时,可以证明对a' 也真。那么,命题对所有自然数都真。
其中,一个数的后继数指紧接在这个数后面的数,例如,0的后继数是1,1的后继数是2等等;公理5保证了数学归纳法的正确性,从而被称为归纳法原理。
若不将0视作自然数,则公理1,4,5中的“0”要换成“1”。
更正式的定义如下:
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f):
- X是一集合,x为X中一元素,f是X到自身的映射。
- x不在f的值域内。(对应上面的公理4)
- f为一单射。(对应上面的公理3)
- 若A为X的子集并满足:
- x属于A,且
- 若a属于A,则f(a) 亦属于A
- 则A = X。
正式定义可以用谓词逻辑表示如下:
戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (S, f, e)
皮亚诺算术
编辑皮亚诺算术(PA)的公理:
- 。
- 。
- ,对于在 PA 的语言中的任何公式 。
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参见
编辑参考资料
编辑- ^ Giuseppe Peano. Arithmetices principia: nova methodo. Harvard University. 1889.
延伸阅读
编辑- Buss, Samuel R. Chapter II: First-Order Proof Theory of Arithmetic. Buss, Samuel R. (编). Handbook of Proof Theory. New York: Elsevier Science. 1998. ISBN 9780444898401.
- Mendelson, Elliott. Introduction to Mathematical Logic (Discrete Mathematics and Its Applications) 6th. Chapman and Hall/CRC. June 2015 [December 1979]. ISBN 9781482237726.
- Smullyan, Raymond M. The Gödelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs. Dover Publications. December 2013. ISBN 978-0-486-49705-1.
- Takeuti, Gaisi. Proof theory Second. Mineola, New York. 2013. ISBN 978-0486490731.
外部链接
编辑- Murzi, Mauro. Henri Poincaré. 《互联网哲学百科全书》. Includes a discussion of Poincaré's critique of the Peano's axioms.
- Podnieks, Karlis. 3. First Order Arithmetic. What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around. 2015-01-25: 93–121 [2022-12-29]. (原始内容存档于2023-03-26).
- Hazewinkel, Michiel (编), Peano axioms, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- 埃里克·韦斯坦因. Peano's Axioms. MathWorld.
- Burris, Stanley N. What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind. 2001 [2022-12-29]. (原始内容存档于2022-10-26). Commentary on Dedekind's work.
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