积分判别法

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积分判别法,又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法,是判断一个实级数或数列收敛的方法。当非负递减时,级数收敛当且仅当积分有限。在17、18世纪,马克劳林奥古斯丁·路易·柯西发展了这个方法。

证明

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考虑如下积分

 

注意 单调递减,因此有:

 

进一步地,考虑如下求和:

 

中间项的和为:

 

对上述不等式取极限 ,有:

 

因此,若积分 收敛,则无穷级数 收敛;若积分发散,则此级数发散。

例子

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调和级数 是发散的,因为它的原函数是自然对数

 ,当 时。

而级数 则对所有的ε > 0都是收敛的,因为:

 ,对于所有 

参考

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  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073