积分判别法
(重定向自積分檢驗)
积分判别法,又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法,是判断一个实级数或数列收敛的方法。当非负递减时,级数收敛当且仅当积分有限。在17、18世纪,马克劳林和奥古斯丁·路易·柯西发展了这个方法。
证明
编辑考虑如下积分
注意 单调递减,因此有:
进一步地,考虑如下求和:
中间项的和为:
对上述不等式取极限 ,有:
因此,若积分 收敛,则无穷级数 收敛;若积分发散,则此级数发散。
例子
编辑- ,当 时。
而级数 则对所有的ε > 0都是收敛的,因为:
- ,对于所有
参考
编辑- Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073