积分判别法

积分判别法，又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法，是判断一个实级数或数列收敛的方法。当$f(x)$非负递减时，级数$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$收敛当且仅当积分$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx$有限。在17、18世纪，马克劳林和奥古斯丁·路易·柯西发展了这个方法。

证明

考虑如下积分

$\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx$

注意$f(x)$单调递减，因此有：

$f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)$

进一步地，考虑如下求和：

$\sum _{n=1}^{k}f(n+1)\leq \sum _{n=1}^{k}\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=1}^{k}f(n)$

中间项的和为：

$\sum _{n=1}^{k}\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx=\int _{1}^{k+1}f(x)\,dx$

对上述不等式取极限$k\to \infty$，有：

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n+1)\leq \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

因此，若积分$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx$收敛，则无穷级数$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$收敛；若积分发散，则此级数发散。

例子

调和级数$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$是发散的，因为它的原函数是自然对数：

$\int _{1}^{M}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln x{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty$，当$M\to \infty$时。

而级数$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}$则对所有的ε > 0都是收敛的，因为：

$\int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}$，对于所有$M\geq 1.$

参考

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073