第一可数空间

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拓扑学上,第一可数空间(First-countable space)是指有可数邻域基拓扑空间,即对于,存在的开邻域序列,使得对于任意的邻域,存在整数使得

例子与反例

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大部分数学中的常见空间为第一可数的,像是所有度量空间皆为第一可数,要证明此点,只要注意到所有以x为中心,半径为1/nn为正整数的开球,形成了于x点的可数局部基。

一个无限集(像是实数线)的余有限拓扑则非第一可数。在商空间 中,所有自然数被视为一个点,此空间也非第一可数。

第一可数性比第二可数性来得弱,所有第二可数空间皆为第一可数,但不可数的离散空间是第一可数而非第二可数。

性质

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  • 第一可数性可传递至子空间。
  • 在第一可数空间中,序列紧致可数紧致等价。
  • 任何第一可数空间的可数为第一可数,但不可数积则未必。