第一可数空间

在拓扑学上，第一可数空间（First-countable space）是指有可数的邻域基的拓扑空间，即对于$x\in X$，存在$x$的开邻域序列$U_{1},U_{2},U_{3},...$，使得对于任意的邻域$V$，存在整数$i$使得$U_{i}\subseteq V$。

例子与反例

大部分数学中的常见空间为第一可数的，像是所有度量空间皆为第一可数，要证明此点，只要注意到所有以x为中心，半径为1/n，n为正整数的开球，形成了于x点的可数局部基。

一个无限集（像是实数线）的余有限拓扑则非第一可数。在商空间$\mathbb {R} /\mathbb {N}$中，所有自然数被视为一个点，此空间也非第一可数。

第一可数性比第二可数性来得弱，所有第二可数空间皆为第一可数，但不可数的离散空间是第一可数而非第二可数。

性质

• 第一可数性可传递至子空间。
• 在第一可数空间中，序列紧致和可数紧致等价。
• 任何第一可数空间的可数积为第一可数，但不可数积则未必。