等价关系
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在数学中,等价关系(英语:Equivalence relation)是具有自反性,对称性,传递性的二元关系。等价关系也称为同值关系。一些等价关系的例子包括整数集上的同余,. 欧几里得几何中的等量(英语:Equipollence),以及普通的相等关系。
定义
编辑若集合 上的二元关系 满足以下条件:
- 自反性:
- 对称性:
- 传递性:
则称 是一个定义在 上的等价关系。习惯上会把等价关系的符号由 改写为 。
事例
编辑等价关系的例子
编辑例如,设 ,定义 上的关系 如下:
其中 叫做 与 模3同余,即 除以3的余数与 除以3的余数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证 为 上的等价关系。
并非所有的二元关系都是等价关系。一个简单的反例是比较两个数中哪个较大:
- 没有自反性:任何一个数不能比自身为较大( )
- 没有对称性:如果 ,就肯定不能有
不是等价关系的关系的例子
编辑- 实数之间的"≥"关系满足自反性和传递性,但不满足对称性。例如,7 ≥ 5 无法推出 5 ≥ 7。它是一种全序关系。
参见
编辑参考文献
编辑- Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
- Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
- Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
- Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. (页面存档备份,存于互联网档案馆) Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
- John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
- Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
- Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.
外部链接
编辑- Hazewinkel, Michiel (编), Equivalence relation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bogomolny, A., "Equivalence Relationship (页面存档备份,存于互联网档案馆)" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
- Equivalence relation at PlanetMath
- Binary matrices representing equivalence relations (页面存档备份,存于互联网档案馆) at OEIS.