等轴测投影

等轴测投影（Isometric projection）又称等角投影是技术制图和工程制图中，一种在二维平面呈现三维物体的方法，属于轴测投影的一种，三条坐标轴的投影缩放比例相同，并且任意两条坐标轴投影之间的角度都是120度。

一些三维图形的等轴测投影图
黑色尺寸是三维图形的实际尺寸
红色尺寸等轴测投影出的尺寸

概述

立方体的等轴测投影图

等轴测投影视角的获取法

等轴测投影图可通过使各坐标轴的投影之间角度相等(120°)的视角来获得。以立方体为例，先从一个面正视观察，然后将立方体绕纵轴旋转±45°，接着将立方体绕横轴旋转约±35.264° (准确值为 arcsin 1⁄√3或arctan 1⁄√2)。立方体的等轴测投影图(右图左上)是正六边形：所有黑线长度相等，每个面的投影面积相同。利用等轴测格纸可以无需计算而绘制等轴测投影图。

等轴测投影的视角可以看成是从立方体的顶点看向对面顶点，则x轴为立方体右侧面右下延伸对角线、y轴为左侧面左下延伸对角线、z轴为顶面向上延伸对角线。从此视角投影，各坐标轴的投影彼此成120°。

数学

根据观察卦限的不同，有8种不同的等轴测投影视角。以第一卦限为例，三维上的点a_x,y,z等轴测投影到二维上成点 b_x,y，数学上可以写成旋转矩阵：

${\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\1&2&1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}$

其中 α = arcsin(1⁄√3) ≈ 35.264° 且 β = 45°。

接着正投影到xy平面:

${\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}$

另外7种符合等轴测投影视角，可以借由反方向旋转或镜像来达成。

历史与局限

研磨机 (1822), 等轴测投影

三国演义中的等轴测投影

等轴测投影的概念以经验形式存在了数个世纪，然后由William Farish(1759–1837)在1822年首次正式描述。 十九世纪中期，等轴测投影成为工程师的重要工具，不久之后等轴测投影和轴测投影进入欧美国家的建筑学课程中。 然而，有观点认为轴测投影发源于中国，在中国艺术中起的作用，就如同透视投影之于西洋艺术，随着视觉计算的出现，轴测投影和相关绘图法则对电脑图形学 亦有所帮助。

等轴测投影缺陷：无法看出两球高度差

彭罗斯阶梯：一座循环的阶梯

如同各种平行投影方法，等轴测投影绘制的物体不会因为物体距离观察者的远近而改变大小。虽然有利于建筑图直接测量长度，但却会造成视觉失真，不像透视投影这种人类视觉和摄像使用的成像方式。等轴测投影有时会造成高度难以识别(如右左下图)。这点可被用来创造谬图，如无限循环阶梯。

在视频游戏和像素画上的用途

二十世纪八九十年代，受限于当时的微电脑计算能力，等轴测投影能提供有限的3D效果，因而被用于视频游戏中，例如当时的机台游戏《立体空战》。

等轴测投影也被用于向导图和像素画，用来呈现复古游戏的风格。

参见

• 轴测投影

外部链接

• Isometric Projection （页面存档备份，存于互联网档案馆）