等軸測投影

等軸測投影（Isometric projection）又稱等角投影是技術製圖和工程製圖中，一種在二維平面呈現三維物體的方法，屬於軸測投影的一種，三條坐標軸的投影縮放比例相同，並且任意兩條坐標軸投影之間的角度都是120度。

一些三維圖形的等軸測投影圖
黑色尺寸是三維圖形的實際尺寸
紅色尺寸等軸測投影出的尺寸

概述

立方體的等軸測投影圖

等軸測投影視角的取得法

等軸測投影圖可通過使各坐標軸的投影之間角度相等(120°)的視角來獲得。以立方體為例，先從一個面正視觀察，然後將立方體繞縱軸旋轉±45°，接着將立方體繞橫軸旋轉約±35.264° (準確值為 arcsin 1⁄√3或arctan 1⁄√2)。立方體的等軸測投影圖(右圖左上)是正六邊形：所有黑線長度相等，每個面的投影面積相同。利用等軸測格紙可以無需計算而繪製等軸測投影圖。

等軸測投影的視角可以看成是從立方體的頂點看向對面頂點，則x軸為立方體右側面右下延伸對角線、y軸為左側面左下延伸對角線、z軸為頂面向上延伸對角線。從此視角投影，各坐標軸的投影彼此成120°。

數學

根據觀察卦限的不同，有8種不同的等軸測投影視角。以第一卦限為例，三維上的點a_x,y,z等軸測投影到二維上成點 b_x,y，數學上可以寫成旋轉矩陣：

${\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\1&2&1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}$

其中 α = arcsin(1⁄√3) ≈ 35.264° 且 β = 45°。

接着正投影到xy平面:

${\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}$

另外7種符合等軸測投影視角，可以藉由反方向旋轉或鏡像來達成。

歷史與局限

研磨機 (1822), 等軸測投影

三國演義中的等軸測投影

等軸測投影的概念以經驗形式存在了數個世紀，然後由William Farish(1759–1837)在1822年首次正式描述。 十九世紀中期，等軸測投影成為工程師的重要工具，不久之後等軸測投影和軸測投影進入歐美國家的建築學課程中。 然而，有觀點認為軸測投影發源於中國，在中國藝術中起的作用，就如同透視投影之於西洋藝術，隨着視覺計算的出現，軸測投影和相關繪圖法則對電腦圖學 亦有所幫助。

等軸測投影缺陷：無法看出兩球高度差

彭羅斯階梯：一座循環的階梯

如同各種平行投影方法，等軸測投影繪製的物體不會因為物體距離觀察者的遠近而改變大小。雖然有利於建築圖直接測量長度，但卻會造成視覺失真，不像透視投影這種人類視覺和攝像使用的成像方式。等軸測投影有時會造成高度難以辨識(如右左下圖)。這點可被用來創造謬圖，如無限迴圈階梯。

在電動遊戲和像素畫上的用途

二十世紀八九十年代，受限於當時的微電腦計算能力，等軸測投影能提供有限的3D效果，因而被用於電動遊戲中，例如當時的機台遊戲《立體空戰》。

等軸測投影也被用於精靈圖和像素畫，用來呈現復古遊戲的風格。

參見

• 軸測投影

外部連結

• Isometric Projection （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）