cis函数

提示：此条目的主题不是欧拉公式。

在微积分学中，cis函数又称纯虚数指数函数，是复变函数的一种，和三角函数类似，其可以使用正弦函数和余弦函数$\operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x$来定义，是一种实变数复数值函数，其中$i$为虚数单位，而cis则为cos + i sin的缩写。

cis函数示意图

一个可以代表cis函数的图形，蓝色是实数部、橘色是虚数部

cis函数
性质
奇偶性	N/A
定义域	(-∞,∞)
到达域	$\left|\operatorname {cis} x\right|=1\,,\operatorname {cis} x\in \mathbb {C}$
周期	2π
特定值
当x=0	1
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	复数无法比大小
最小值	复数无法比大小
其他性质
渐近线	N/A
根	N/A
临界点	N/A
拐点	kπ
不动点	0
k是一个整数.

概观

cis函数是欧拉公式等号右侧的所形的组合函数简写：

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

其中i表示虚数单位$i^{2}=-1$。因此

$\operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,$

cis符号最早由威廉·哈密顿在他于1866出版的《Elements of Quaternions》中使用，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符号 ，其利用欧拉公式将三角函数与复平面的指数函数连结起来。

cis函数主要的功能为简化某些数学表达式，透过cis函数可以使部分数学式能更简便地表达，例如傅里叶变换和哈特利变换的结合，以及应用在教学上时，因某些因素（如课程安排或课纲需求）因故不能使用指数来表达数学式时，cis函数就能派上用场。

性质

cis函数的定义域是整个实数集，值域是单位复数，绝对值为1的复数。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$。其图像关于原点对称。

上述文字称它以类似三角函数的形式来定义函数的原因是，就如同三角函数，他也算是一种比值，复数和其模的比值:

$\operatorname {cis} \theta ={\frac {z}{\left|z\right|}}$，其中$z$是辐角为$\theta$的复数

因此，当一复数的模为1，其反函数就是辐角（arg函数）。

$\operatorname {cis}$函数可视为求单位复数的函数。

$\operatorname {cis}$函数的实数部分和余弦函数相同。

cis函数 定义在复数。图中，颜色代表辐角，高代表模

微分

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}$

积分

$\int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}$

其他性质

根据欧拉公式，cis函数有以下性质：

$\operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y$

$\operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}$

上述性质是当$x$与$y$都是复数时成立。在$x$与$y$都是实数时，有以下不等式：

$|\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.$

命名

由于$\operatorname {cis}$函数的值为“余弦加上虚数单位倍的正弦”，取其英文缩写cosine and imaginary unit sine，故以$\operatorname {cis}$来表示该函数。

欧拉公式

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在数学上，为了简化欧拉公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x\$，因此将欧拉公式以类似三角函数的形式来定义函数，给出了cis函数的定义：

$\operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\;\sin \theta$

并且一般定义域为$\theta \in \mathbb {R} \,$，值域为$\theta \in \mathbb {C} \,$。

当$\theta$值为复数时，$\operatorname {cis}$函数仍然是有效的，因此可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。

棣莫弗公式

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在数学上，为了方便起见，可以将棣莫弗公式写成以下形式：

$\operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)$

指数定义

跟其他三角函数类似，可以用e的指数来表示，依照欧拉公式给出: $\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$

反函数

$\operatorname {cis}$的反函数：$\operatorname {arccis} x$，当代入模为1的复数时，所得的值是其辐角

类似其他三角函数，$\operatorname {cis}$的反函数也可以用自然对数来表示

$\operatorname {arccis} \,x=-{\mathrm {i} }\ln x\,$

当一复数经过符号函数后代入$\operatorname {arccis} x$可得辐角。

恒等式

$\operatorname {cis}$函数的倍角公式似乎比三角函数简单许多

半形公式

$\operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}$

$\operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}$

倍角公式

$\operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta$

$\operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta$

幂简约公式

$\operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta$

相关函数

余cis函数

cocis函数，正好跟cis上下颠倒，周期相同，但是位移了${\frac {\pi }{2}}$

就如同三角函数，我们可以令：$\operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta$，其可用于诱导公式来化简某些特定的$\operatorname {cis}$函数的式子。

至于指数定义，经过正弦和余弦的指数定义得:

$\operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}$

有恒等式:

$\operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta$

$\operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta$

$\operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta$

$\operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta$

双曲cis函数

cish函数（$\cosh +i\sinh$）在几何意义上与cis函数对应的双曲函数不同。在双曲几何中，与欧几里得几何对应cis函数应为：

$e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )$

然而当中的$i$若定义为负一的平方根，则其会变为：

$\operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )$

双曲复数

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在一般的情况下，cis函数对应的双曲函数定义域和值域皆为实数，但若定义双曲复数，考虑数$z=x+jy$，其中$x,y$是实数，而量$j$不是实数，但$j^{2}$是实数。选取$j^{2}=-1$，得到一般复数。取$+1$的话，便得到双曲复数。

而双曲复数有对应的欧拉公式:$e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$

$\operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$

其中j为双曲复数。

因此双曲cis函数得到的值为双曲复数，相反的若将其反函数带入模为一的双曲复数可得其辐角。

如此一来，值域将会变成分裂四元数。

cas函数

cas函数是一个以类似cis函数的概念定义的一个函数，为雷夫·赫特利于1942提出，其定义为$\mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x$，是一种实变数实值函数，而cas为“cosine-and-sine”的缩写，其表示了实数值的赫特利变换：

$\mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x$

cas函数存在一些恒等式：

$2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,$

角和公式：

$\operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,$

微分：

$\operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).$

参见

• 正弦
• 余弦
• 复数 (数学)
• 三角函数
• 三角函数恒等式
• 欧拉公式