cis函數

提示：此條目的主題不是歐拉公式。

在微積分學中，cis函數又稱純虛數指數函數，是複變函數的一種，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數$\operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x$來定義，是一種實變數複數值函數，其中$i$為虛數單位，而cis則為cos + i sin的縮寫。

cis函數示意圖

一個可以代表cis函數的圖形，藍色是實數部、橘色是虛數部

cis函數
性質
奇偶性	N/A
定義域	(-∞,∞)
到達域	$\left|\operatorname {cis} x\right|=1\,,\operatorname {cis} x\in \mathbb {C}$
周期	2π
特定值
當x=0	1
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	複數無法比大小
最小值	複數無法比大小
其他性質
漸近線	N/A
根	N/A
臨界點	N/A
拐點	kπ
不動點	0
k是一個整數.

概觀

cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫：

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

其中i表示虛數單位$i^{2}=-1$。因此

$\operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,$

cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號 ，其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式，透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達，例如傅里葉變換和哈特利變換的結合，以及應用在教學上時，因某些因素（如課程安排或課綱需求）因故不能使用指數來表達數學式時，cis函數就能派上用場。

性質

cis函數的定義域是整個實數集，值域是單位複數，絕對值為1的複數。它是周期函數，其最小正周期為$2\pi$。其圖像關於原點對稱。

上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是，就如同三角函數，他也算是一種比值，複數和其模的比值:

$\operatorname {cis} \theta ={\frac {z}{\left|z\right|}}$，其中$z$是輻角為$\theta$的複數

因此，當一複數的模為1，其反函數就是輻角（arg函數）。

$\operatorname {cis}$函數可視為求單位複數的函數。

$\operatorname {cis}$函數的實數部分和餘弦函數相同。

cis函數 定義在複數。圖中，顏色代表輻角，高代表模

微分

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}$

積分

$\int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}$

其他性質

根據歐拉公式，cis函數有以下性質：

$\operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y$

$\operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}$

上述性質是當$x$與$y$都是複數時成立。在$x$與$y$都是實數時，有以下不等式：

$|\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.$

命名

由於$\operatorname {cis}$函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」，取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine，故以$\operatorname {cis}$來表示該函數。

歐拉公式

主條目：歐拉公式

在數學上，為了簡化歐拉公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x\$，因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，給出了cis函數的定義：

$\operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\;\sin \theta$

並且一般定義域為$\theta \in \mathbb {R} \,$，值域為$\theta \in \mathbb {C} \,$。

當$\theta$值為複數時，$\operatorname {cis}$函數仍然是有效的，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。

棣莫弗公式

主條目：棣莫弗公式

在數學上，為了方便起見，可以將棣莫弗公式寫成以下形式：

$\operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)$

指數定義

跟其他三角函數類似，可以用e的指數來表示，依照歐拉公式給出: $\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$

反函數

$\operatorname {cis}$的反函數：$\operatorname {arccis} x$，當代入模為1的複數時，所得的值是其輻角

類似其他三角函數，$\operatorname {cis}$的反函數也可以用自然對數來表示

$\operatorname {arccis} \,x=-{\mathrm {i} }\ln x\,$

當一複數經過符號函數後代入$\operatorname {arccis} x$可得輻角。

恆等式

$\operatorname {cis}$函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

半形公式

$\operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}$

$\operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}$

倍角公式

$\operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta$

$\operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta$

冪簡約公式

$\operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta$

相關函數

餘cis函數

cocis函數，正好跟cis上下顛倒，周期相同，但是位移了${\frac {\pi }{2}}$

就如同三角函數，我們可以令：$\operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta$，其可用於誘導公式來化簡某些特定的$\operatorname {cis}$函數的式子。

至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得:

$\operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}$

有恆等式:

$\operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta$

$\operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta$

$\operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta$

$\operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta$

$\operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta$

雙曲cis函數

cish函數（$\cosh +i\sinh$）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應cis函數應為：

$e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )$

然而當中的$i$若定義為負一的平方根，則其會變為：

$\operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )$

雙曲複數

主條目：雙曲複數

在一般的情況下，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數$z=x+jy$，其中$x,y$是實數，而量$j$不是實數，但$j^{2}$是實數。選取$j^{2}=-1$，得到一般複數。取$+1$的話，便得到雙曲複數。

而雙曲複數有對應的歐拉公式:$e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$

$\operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$

其中j為雙曲複數。

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。

如此一來，值域將會變成分裂四元數。

cas函數

cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，為雷夫·赫特利於1942提出，其定義為$\mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x$，是一種實變數實值函數，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的赫特利變換：

$\mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x$

cas函數存在一些恆等式：

$2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,$

角和公式：

$\operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,$

微分：

$\operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).$

參見

• 正弦
• 餘弦
• 複數 (數學)
• 三角函數
• 三角函數恆等式
• 歐拉公式