在流体动力学中,当物体在流体中运动时,在流体向物体运动反方向所施的力下,物体的运动速度因而不变,这时物体所移动的速度就是终端速度

向下的重力(Fg)相等于向上的阻力(Fd)。此时物体的合力为零,因此物体的速度保持不变。

当向下的重力(Fg)相等于向上的阻力(Fd)时,自由落体中的物体会达到终端速度。此时物体的合力为零,因此物体的速度保持不变[1]

当物体加速的时候(一般是因为重力而向下加速),施向物体的抗力也在增加,使得加速度慢下来。在某一个速度下,所产生的抗力会相等于物体的重量()。这时候物体停止加速,并持续以不变的速度下落,这个速度就是终端速度(也叫沉降速度)。终端速度直接随着重量与阻力的比值而变。更大的抗力代表较低的终端速度,而更大的重量则代表较高的终端速度。若一向下移动物体的速度大于终端速度(比方说它受一向下的力影响,或它掉进了较薄的大气层区域,或它的形状改变),它的速度会慢下来,直至达到终端速度为止。

例子

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举例说,基于风阻,一个采取俯伏向下自由落体姿势的跳伞员,其终端速度约为195km/h(55m/s[2]。这个速度是整个加速过程的渐近极限值,因为作用在身体上的有效力在接近终端速度的过程中,愈来愈接近互相平衡的状态。在这个例子中,要达到终端速度的50%只需要3秒,达到90%则需要8秒,而达到99%就需要15秒,如此类推。

如果跳伞员把四肢拉起来的话,终端速度会提高。在这个例子中,终端速度会提升至320km/h(90m/s[2],几乎到达游隼向下追捕猎物时的速度;一粒典型的.30-06步枪子弹在垂直下坠时也会达到这样的终端速度——垂直下坠可能是因为被向上射击后要回到地面,又或是从高楼上掉下——其速度是来自于一份1920年的美军军械研究报告[3]

竞速跳伞员会使用头向下俯冲的姿势来达到更高的速度,2012年之前的世界纪录由约瑟夫·基廷格在1960年所创下,速度为988km/h,当时位于海拔较高的地方,因此大气层较为稀薄,空气阻力较小[2]菲利克斯·保加拿为了打破此纪录,在2012年10月15日从39公里高的同温层跳下,最高时速高达1357.6km/h,是目前的世界纪录保持人。[4]

一向着地球表面下坠物体的速度,每秒钟会增加每秒钟9.806米(即加速度为9.806m‧s-2)。物体会达到终端速度的原因是,阻力的大小与速度的平方成正比。在低速时,阻力比重力要小得多,所以物体加速。当物体在加速时,阻力增加,直至与重量相等。阻力同时亦取决于投影面积。就是因为这个原因,相对于质量有着大投影面积的物体,如降落伞,比其他这方面小的物体,如子弹,有着更低的终端速度。

数学上,无视浮力的终端速度可用下式表示:

 

其中

 为终端速度,
 为物体重量,
 地球所引起的加速度
 阻力系数
 为物体落下时所处的流体密度
 为物体的投影面积。

数学上,一物体渐近地到达终端速度。

由周遭流体向物体所施的向上力所造成的浮力效应,可用阿基米德定律来描述:质量 必须减去所排开的流体质量 ,其中 为物体的体积。所以不使用 ,在各方程中改用约化质量 

在地球上,一物体的终端速度取决于流体的性质、物体的质量及其横截表面积的投影大小。

空气密度随着海拔减少而增加,海拔每减少80米,密度就增加约1%(使用气压公式)。若物体下降时穿越大气层,每下降160米,终端速度就会减少1%。当物点达到所处点的终端速度后,若持续下降,则物体会因为新位置的终端速度而减速。

终端速度的推导

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数学上,把向下定义为正方向,物体在接地球表面落下是所受的合力Fnet为(根据牛顿第二定律):

 

其中: a加速度FD为阻力。

根据阻力公式:

 

将上两式结合可得

 

在平衡时,合力为零(F=0):

 

v可得,

 

有浮力情况下的终端速度

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当考虑浮力效应时,因自身质量而在流体中下沉的物体,若其合力为零,就会达到终端速度(沉降速度)。当达到终端速度时,物体的重量会正好等于向上的浮力与阻力之和。即:

 

其中

 为物体的重量,
 为作用于物体上的浮力,及
  为作用于物体上的阻力。

若下沉的物体是球状的,则三种力的表示式如下:

 


 


 

其中

 为球体的直径,
 为重力加速度,
 为流体的密度,
 为球体的密度,
 为球体投影面积,
 阻力系数,及
 为特征速度(即终端速度, )。

将方程(2)至(4)代入至方程(1),求解 的值,得下式:

 

蠕流下的终端速度

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蠕流流过球体示意图:流线、阻力Fd及重力Fg

对流体内非常慢的运动而言,相对于其他力,流体的惯性力是无关重要的(假设流体无质量)。这样的流被称为蠕流,而蠕流需要满足雷诺数 的条件。蠕流的运动方程(简化后的纳维-斯托克斯方程)如下:

 

其中:

 为速度矢量场,
 为压力场,及
  为流体黏度

流过球体的蠕流解析解最早由乔治·斯托克斯于1851年提出。从斯托克斯的解可得作用于球体的阻力

  

其中雷诺数 。方程(6)中表示阻力的式子又被称为斯托克斯定律

 的值代入至方程(5),可得球状物体在蠕流条件下的终端速度表示式:

 

应用

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蠕流的计算结果可被用于研究近海底沉积粒子的沉降,及大气层中下降的水滴。其原理被应用于落球式黏度计,一种量度高黏度流体黏度的实验装置。

另见

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参考文献

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  1. ^ 終端速度. 美国国家航空航天局格林研究中心NASA Glenn Research Center. [2009-03-04]. (原始内容存档于2009-02-23). (英文)
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Huang, Jian. 跳傘者的速度(終端速度). The Physics Factbook. Glenn Elert, Midwood High School, Brooklyn College. 1999 [2017-02-24]. (原始内容存档于2020-11-24). (英文)
  3. ^ The Ballistician. Bullets in the Sky. W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston,Texas 77089. March 2001. (原始内容存档于2008-03-31). 
  4. ^ 奧地利冒險家鮑姆加特納太空跳傘. BBC中文网. 2012-10-14 [2012-10-14]. (原始内容存档于2012-10-19). 

外部链接

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