终端速度

在流体动力学中，当物体在流体中运动时，在流体向物体运动反方向所施的力下，物体的运动速度因而不变，这时物体所移动的速度就是终端速度。

向下的重力（F_g）相等于向上的阻力（F_d）。此时物体的合力为零，因此物体的速度保持不变。

当向下的重力（F_g）相等于向上的阻力（F_d）时，自由落体中的物体会达到终端速度。此时物体的合力为零，因此物体的速度保持不变。

当物体加速的时候（一般是因为重力而向下加速），施向物体的抗力也在增加，使得加速度慢下来。在某一个速度下，所产生的抗力会相等于物体的重量（$mg$）。这时候物体停止加速，并持续以不变的速度下落，这个速度就是终端速度（也叫沉降速度）。终端速度直接随着重量与阻力的比值而变。更大的抗力代表较低的终端速度，而更大的重量则代表较高的终端速度。若一向下移动物体的速度大于终端速度（比方说它受一向下的力影响，或它掉进了较薄的大气层区域，或它的形状改变），它的速度会慢下来，直至达到终端速度为止。

例子

举例说，基于风阻，一个采取俯伏向下自由落体姿势的跳伞员，其终端速度约为195km/h（55m/s）。这个速度是整个加速过程的渐近极限值，因为作用在身体上的有效力在接近终端速度的过程中，愈来愈接近互相平衡的状态。在这个例子中，要达到终端速度的50%只需要3秒，达到90%则需要8秒，而达到99%就需要15秒，如此类推。

如果跳伞员把四肢拉起来的话，终端速度会提高。在这个例子中，终端速度会提升至320km/h（90m/s），几乎到达游隼向下追捕猎物时的速度；一粒典型的.30-06步枪子弹在垂直下坠时也会达到这样的终端速度——垂直下坠可能是因为被向上射击后要回到地面，又或是从高楼上掉下——其速度是来自于一份1920年的美军军械研究报告 。

竞速跳伞员会使用头向下俯冲的姿势来达到更高的速度，2012年之前的世界纪录由约瑟夫·基廷格在1960年所创下，速度为988km/h，当时位于海拔较高的地方，因此大气层较为稀薄，空气阻力较小 。菲利克斯·保加拿为了打破此纪录，在2012年10月15日从39公里高的同温层跳下，最高时速高达1357.6km/h，是目前的世界纪录保持人。

一向着地球表面下坠物体的速度，每秒钟会增加每秒钟9.806米（即加速度为9.806m‧s^-2）。物体会达到终端速度的原因是，阻力的大小与速度的平方成正比。在低速时，阻力比重力要小得多，所以物体加速。当物体在加速时，阻力增加，直至与重量相等。阻力同时亦取决于投影面积。就是因为这个原因，相对于质量有着大投影面积的物体，如降落伞，比其他这方面小的物体，如子弹，有着更低的终端速度。

数学上，无视浮力的终端速度可用下式表示：

$V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}$

其中

$V_{t}$为终端速度，

$m$为物体重量，

$g$为地球所引起的加速度，

$C_{d}$为阻力系数，

$\rho$为物体落下时所处的流体密度，

$A$为物体的投影面积。

数学上，一物体渐近地到达终端速度。

由周遭流体向物体所施的向上力所造成的浮力效应，可用阿基米德定律来描述：质量$m$必须减去所排开的流体质量$\rho {\mathcal {V}}$，其中${\mathcal {V}}$为物体的体积。所以不使用$m$，在各方程中改用约化质量$m_{r}=m-\rho {\mathcal {V}}$。

在地球上，一物体的终端速度取决于流体的性质、物体的质量及其横截表面积的投影大小。

空气密度随着海拔减少而增加，海拔每减少80米，密度就增加约1%（使用气压公式）。若物体下降时穿越大气层，每下降160米，终端速度就会减少1%。当物点达到所处点的终端速度后，若持续下降，则物体会因为新位置的终端速度而减速。

终端速度的推导

数学上，把向下定义为正方向，物体在接地球表面落下是所受的合力F_net为（根据牛顿第二定律）：

$F_{net}=ma=mg-F_{D}$。

其中： a为加速度， F_D为阻力。

根据阻力公式：

$F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{d}\,A$。

将上两式结合可得

$F_{net}=mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }$。

在平衡时，合力为零（F=0）：

$mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }=0\$。

解v可得，

${\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{\mathrm {d} }}}}\$。

速度v作为时间t函数解的推导

阻力方程为 $ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }$。 取'k = 1⁄2ρACd，此时方程的形式较为实用。 两边一起除以m得 ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g-{\frac {kv^{2}}{m}}$。 整理方程得 $dt={\frac {\mathrm {d} v}{g-{\frac {kv^{2}}{m}}}}$。 取两边积分得 $\int _{0}^{t}{\mathrm {d} t^{\prime }}=\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v^{\prime }}{g-{\frac {kv^{\prime 2}}{m}}}}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v^{\prime }}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}$， 其中α = ( k⁄mg )1⁄2. 积分后，得 $t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v^{\prime }) \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v^{\prime })}{2\alpha }}+C\right]_{v^{\prime }=0}^{v^{\prime }=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v^{\prime }}{1-\alpha v^{\prime }}} \over 2\alpha }+C\right]_{v^{\prime }=0}^{v^{\prime }=v},$ 或简化形式 $t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}\ .$ 反双曲正切函数（arctanh）的定义为: ${\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}=\mathrm {arctanh} (\alpha v)$. 故方程解的积分为 $t={\frac {\mathrm {arctanh} (\alpha v)}{\alpha g}}$， 上式可简化成 ${\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v$， 其中tanh为双曲正切函数。设g为正数（它的定义确实是正数），然后把α的值代入，得 $v={\sqrt {\frac {mg}{k}}}\tanh \left({\sqrt {\frac {k}{mg}}}gt\right)$， 代入k = 1⁄2ρACd，得v所需的形式 $v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right)$， 当时间趋向无限（t → ∞），双曲正切趋向1，得终端速度 ${\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}$。

由能量守恒推导
能量守恒方程为 $mgh=kv^{2}h+{\frac {1}{2}}mv^{2}$。 分离v得到 $v={\sqrt {\frac {mgh}{kh+{1 \over 2}m}}}\$。 当时间趋近无限，即高度趋近于无限( h = vt , v 始终为正), h → ∞ ， 故以上式子取极限得 $v={\sqrt {\frac {mg}{k}}}\$。

有浮力情况下的终端速度

当考虑浮力效应时，因自身质量而在流体中下沉的物体，若其合力为零，就会达到终端速度（沉降速度）。当达到终端速度时，物体的重量会正好等于向上的浮力与阻力之和。即：

$\quad (1)\qquad W=F_{b}+D$

其中

$W$为物体的重量，

$F_{b}$为作用于物体上的浮力，及

$D$ 为作用于物体上的阻力。

若下沉的物体是球状的，则三种力的表示式如下：

$\quad (2)\qquad W={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g$

$\quad (3)\qquad F_{b}={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}\rho g$ ${\displaystyle }$

$\quad (4)\qquad D=C_{d}{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}A$

其中

$d$为球体的直径，

$g$为重力加速度，

$\rho$为流体的密度，

$\rho _{s}$为球体的密度，

$A=\pi d^{2}/4$为球体投影面积，

$C_{d}$阻力系数，及

$V$为特征速度（即终端速度，$V_{t}$）。

将方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解$V_{t}$的值，得下式：

$\quad (5)\qquad V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}$。

蠕流下的终端速度

蠕流流过球体示意图：流线、阻力F_d及重力F_g

对流体内非常慢的运动而言，相对于其他力，流体的惯性力是无关重要的（假设流体无质量）。这样的流被称为蠕流，而蠕流需要满足雷诺数$Re\ll 1$的条件。蠕流的运动方程（简化后的纳维-斯托克斯方程）如下：

$\nabla p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }$

其中：

${\mathbf {v} }$为速度矢量场，

$p$为压力场，及

$\mu$ 为流体黏度。

流过球体的蠕流解析解最早由乔治·斯托克斯于1851年提出。从斯托克斯的解可得作用于球体的阻力

$\quad (6)\qquad D=3\pi \mu dV\qquad \qquad$ 或 $\qquad \qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}$

其中雷诺数$Re={\tfrac {\rho dV}{\mu }}$。方程(6)中表示阻力的式子又被称为斯托克斯定律。

把$C_{d}$的值代入至方程(5)，可得球状物体在蠕流条件下的终端速度表示式：

$V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right)$。

应用

蠕流的计算结果可被用于研究近海底沉积粒子的沉降，及大气层中下降的水滴。其原理被应用于落球式黏度计，一种量度高黏度流体黏度的实验装置。

另见

• 斯托克斯定律
• 自由落体

外部链接

• 终端速度——美国国家航空航天局页面（英文）
• 终端速度与物体的大小尺度 （页面存档备份，存于互联网档案馆）物理动画