经典力学方程列表

经典力学是物理学描述宏观物体运动的分支。是最熟悉的物理学理论。涵盖如常用和已知的加速度和力。本列表基于具固定轴的三维欧几里得空间参考系。三轴的交点称为此空间的原点。

经典力学概念包括微分方程、流形、李群和遍历理论。各种物理量相互关联。本列表总结了其中最重要的内容。

本文列出了牛顿力学的方程，有关经典力学（包括拉格朗日力学和哈密顿力学）的更一般公式，请参阅分析力学。

经典力学

质量与惯量

通用名	通用符号	定义	国际单位制	量纲
线/表面/体积质量密度	λ或μ用于线密度（μ主要用在声学），σ用于表面，ρ用于体积。	$m=\int \lambda \,\mathrm {d} \ell$ $m=\iint \sigma \,\mathrm {d} S$ $m=\iiint \rho \,\mathrm {d} V$	kg m−n, n = 1, 2, 3	M L−n
质量矩	m （没有通用符号）	点质量： $$\mathbf {m} =\mathbf {r} m$$ 相对固定轴$x_{i}$的离散质量： $$\mathbf {m} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{i}m_{i}$$ 相对固定轴$x_{i}$的连续质量： $$\mathbf {m} =\int \rho \left(\mathbf {r} \right)x_{i}\mathrm {d} \mathbf {r}$$	kg m	M L
质心	rcom （符号不一定）	第i个质量 $\mathbf {m} _{i}=\mathbf {r} _{i}m_{i}$ 离散质量： $$\mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {m} _{i}$$ 连续质量： $$\mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\int \mathrm {d} \mathbf {m} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \,\mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho \,\mathrm {d} V$$	m	L
二体约化质量	m12, μ= m1 and m2	$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$	kg	M
转动惯量（MOI）	I	离散质量： $$I=\sum _{i}\mathbf {m} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\left|\mathbf {r} _{i}\right|^{2}m$$ 连续质量： $$I=\int \left|\mathbf {r} \right|^{2}\mathrm {d} m=\int \mathbf {r} \cdot \mathrm {d} \mathbf {m} =\int \left|\mathbf {r} \right|^{2}\rho \,\mathrm {d} V$$	kg m2	M L2

导出的运动学物理量

经典粒子的运动学物理量：质量m、位置r、速度v、加速度a

通用名	通用符号	定义	国际单位制	量纲
速度	v	$\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}$	m s−1	L T−1
加速度	a	$\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}$	m s−2	L T−2
加加速度	j	$\mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}$	m s−3	L T−3
Jounce	s	$\mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}$	m s−4	L T−4
角速度	ω	${\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$	rad s−1	T−1
角加速度	α	${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}$	rad s−2	T−2
角加加速度	ζ	${\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{3}\theta }{\mathrm {d} t^{3}}}$	rad s−3	T−3

导出的动力学物理量

经典力学下物质的角动量。

左： 固有的自旋角动量S是物体每一点的轨道角动量

右： 对应一个轴的外在轨道角动量L

上：转动惯量 I以及角速度ω（L不一定会和ω平行）

下：动量p以及其相对于轴的位置r

。总角动量（spin + orbital）为J

通用名	通用符号	定义	国际单位制	量纲
动量	p	$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$	kg m s−1	M L T−1
力	F	$\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {p} /\mathrm {d} t$	N = kg m s−2	M L T−2
冲量	J, Δp, I	$\mathbf {J} =\Delta \mathbf {p} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t$	kg m s−1	M L T−1
相对一点r0的角动量	L, J, S	$\mathbf {L} =\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {p}$ 若各质点的旋转轴均相交在同一点，可以设定r0 = 0。	kg m2 s−1	M L2 T−1
力相对一点r0的力矩	τ, M	${\boldsymbol {\tau }}=\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$	N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
角冲量	ΔL （没有通用符号）	$\Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {\tau }}\,\mathrm {d} t$	kg m2 s−1	M L2 T−1

一般能量定义

主条目：机械能

通用名	通用符号	定义	国际单位制	量纲
合力产生的功	W	$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$	J = N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
力学系统所作的功	WON, WBY	$\Delta W_{\mathrm {ON} }=-\Delta W_{\mathrm {BY} }$	J = N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
势能	φ, Φ, U, V, Ep	$\Delta W=-\Delta V$	J = N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
机械功率	P	$P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}$	W = J s−1	M L2 T−3

每一个保守力都有对应的势能。根据以下二个原理，可以设定势能U的值：

• 保守力为零的时候，势能也定义为零。
• 保守力作功时，势能减少。

广义力学

主条目：分析力学、拉格朗日力学和哈密顿力学

通用名	通用符号	定义	国际单位制	量纲
广义座标	q, Q		不一定	不一定
广义速度	${\dot {q}},{\dot {Q}}$	${\dot {q}}\equiv \mathrm {d} q/\mathrm {d} t$	不一定	不一定
广义动量	p, P	$p=\partial L/\partial {\dot {q}}$	不一定	不一定
拉格朗日量	L	$L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {\dot {q}} )-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$ 其中$\mathbf {q} =\mathbf {q} (t)$以及 p = p(t) 分别是广义座标以及动量的向量，是时间的函数。	J	M L2 T−2
哈密顿量	H	$H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$	J	M L2 T−2
作用量，哈密顿主函数	S, $\scriptstyle {\mathcal {S}}$	${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\mathrm {d} t$	J s	M L2 T−1

运动学

在以下转动的定义中，角度是对应转动轴的位意角度。一般常用θ，不过不一定要是极座标下的极角。单位轴向量

$$\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }$$

定义转动轴$\scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}$为r方向上的单位向量，$\scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }$是和角呈切线的单位向量。

	平移	转动
速度	平均： $$\mathbf {v} _{\mathrm {average} }={\Delta \mathbf {r} \over \Delta t}$$ 瞬时： $$\mathbf {v} ={d\mathbf {r} \over dt}$$	角速度 $${\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}$$ 转动刚体： $$\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$$
加速度	平均： $$\mathbf {a} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}$$ 瞬时： $$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$$	角加速度 $${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\omega }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}$$ 转动刚体： $$\mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v}$$
加加速度	平均： $$\mathbf {j} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {a} }{\Delta t}}$$ 瞬时： $$\mathbf {j} ={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}$$	角加加速度 $${\boldsymbol {\zeta }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\alpha }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\omega }{{\rm {d}}t^{2}}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{3}\theta }{{\rm {d}}t^{3}}}$$ 转动刚体： $$\mathbf {j} ={\boldsymbol {\zeta }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {a}$$

动力学

	平移	转动
动量	$$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$$ 针对转动刚体： $$\mathbf {p} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {m}$$	角动量 $$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}$$ 此外积为赝矢量，若r和p都反向（变号），L不会变号。 一般来说，I是二维张量，·表示张量缩并。
力和牛顿第二运动定律	作用在系统质心上的合力，等于动量的变化率： $${\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}}\\&=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}\\\end{aligned}}$$ 针对许多质点的系统，质点i的运动方程式为： $${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}$$ 其中pi是第i个质点的动量，Fij，是粒子j作用在粒子i上的力，FE是合外力（来自系统以外的物体）。粒子i不会产生给自身的力。	力矩 力矩（torque）τ也称为moment of a force，是转动系统中对应力的物理量： $${\boldsymbol {\tau }}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}$$ 若是刚体，牛顿第二转动定律的形式类似平移运动下的形式： $${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}\\&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {I} }{{\rm {d}}t}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\\\end{aligned}}$$ 若针对许多质点，质点i的运动方程为： $${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}$$
Yank	Yank是力的变化率： $${\begin{aligned}\mathbf {Y} &={\frac {d\mathbf {F} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {p} }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(m\mathbf {v} )}{dt^{2}}}\\[1ex]&=m\mathbf {j} +\mathbf {2a} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}+\mathbf {v} {\frac {{\rm {d^{2}}}m}{{\rm {d}}t^{2}}}\end{aligned}}$$ 若是固定质量，会变成下式： $$\mathbf {Y} =m\mathbf {j}$$	Rotatum Rotatum Ρ也称为moment of a Yank，因为是是转动系统中对应Yank的物理量： $${\boldsymbol {\mathrm {P} }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\tau }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {Y} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }})}{{\rm {d}}t}}$$
冲量	冲量是动量的变化： $$\Delta \mathbf {p} =\int \mathbf {F} \,dt$$ 针对固定力F： $$\Delta \mathbf {p} =\mathbf {F} \Delta t$$	Twirl或是角冲量是角动量的变化： $$\Delta \mathbf {L} =\int {\boldsymbol {\tau }}\,dt$$ 针对固定力矩τ： $$\Delta \mathbf {L} ={\boldsymbol {\tau }}\Delta t$$

进动

陀螺的进动角速度为：

$${\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}$$

其中w是自旋物体的重量。

能量

系统以外事物对系统所作的机械功等于系统的动能变化：

通用功—能定理（平移及转动）

系统以外事物，对曲线路径C上的质点产生力F（在 r的位置）以及力矩τ，所做成的功W为：

$$W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} \,{\mathrm {d} \theta }\right)$$

其中θ是相对单位向量n所定义轴的转动角度。

动能

物体一开始的速度为$v_{0}$，后来的速度为$v$，其动能变化为：

$$\Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})$$

弹性势能

遵守胡克定律的弹簧，若一端固定，拉长后，其弹性势能为

$$\Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}$$

其中r₂和r₁是弹簧未固定端，在拉长后以及拉长前的共线座标，方向是往拉长／压缩的方向，k是弹簧常数。

刚体运动的欧拉方程

主条目：欧拉方程 (刚体运动)

莱昂哈德·欧拉也像牛顿一様，发表了运动定律，可以参见欧拉运动定律。这些定律将牛顿运动定律扩展到刚体的运动上，不过本质是相同的。以下是欧拉提出新的运动方程式：

$$\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}$$

其中I是转动惯量张量.

通用平面运动

参见：极坐标系 § 向量微积分

前面平面运动的方程可以用在此处，应用上述的定义即可推出动量、角动量等。针对在平面上路径移动的物体。

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}$$

以下的结果可应用在质点上。

运动学	动力学
位置 $$\mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r,\theta ,t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}$$
速度 $$\mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }$$	动量 $$\mathbf {p} =m\left(\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }\right)$$ 角动量 $$\mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \left(\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }\right)$$
加速度 $$\mathbf {a} =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{{\rm {d}}t}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }$$	向心力为 $$\mathbf {F} _{\bot }=-m\omega ^{2}R\mathbf {\hat {e}} _{r}=-\omega ^{2}\mathbf {m}$$ 其中的m是质量矩（mass moment），科里奥利力为 $$\mathbf {F} _{c}=2\omega m{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}t}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }=2\omega mv\mathbf {\hat {e}} _{\theta }$$ 科里奥利加速度以及科里奥利也可以写成： $$\mathbf {F} _{c}=m\mathbf {a} _{c}=-2m{\boldsymbol {\omega \times v}}$$

连心力运动

针对质量较大的物体，而且因为其他物体所施加的连心力而运动，连心力只和二物体质心的距离有关，其运动方程为：

$${\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )$$

定加速度运动方程

仅当加速度恒定时才能使用这些方程式。如果加速度会变化，则必须使用上面的一般微积分学方程，透过积分位置、速度和加速度的定义来找到（见上文） 。

线性运动	旋转运动
$\mathbf {v-v_{0}} =\mathbf {a} t$	$\omega -\omega _{0}=\alpha t$
$\mathbf {x-x_{0}} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {v_{0}+v} )t$	$\theta -\theta _{0}={\tfrac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega )t$
$\mathbf {x-x_{0}} =\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}$	$\theta -\theta _{0}=\omega _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}$
$\mathbf {x} _{n^{th}}=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} (n-{\tfrac {1}{2}})$	$\theta _{n^{th}}=\omega _{0}+\alpha (n-{\tfrac {1}{2}})$
$v^{2}-v_{0}^{2}=2\mathbf {a(x-x_{0})}$	$\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}=2\alpha (\theta -\theta _{0})$

参见：直线运动 § 与旋转运动的比较

伽利略座标系变换

在古典（伽利略-牛顿）力学里，将物理定律从一个惯性或加速（包括旋转）坐标系（参考坐标系是以定速移动，其中包括零速）变换到另一个坐标系的变换即为伽利略变换。

以下标示r, v, a 的物理量是在坐标系F的位置、速度、加速度物理量，而标示r’, v’, a’ 的物理量是在以相对坐标系F移动速度V或是角速度Ω的坐标系F’的的位置、速度、加速度物理量。相对的，F是以相反的速度(—V or —Ω) 相对于F'移动。此情形类似相对加速度。

运动方式	惯性坐标系	加速坐标系
移动 V = 两个惯性坐标系F和F'之间的相对定速度 A = 两个加速坐标系F和F'之间的相对（变）加速度	相对位置 $$\mathbf {r} '=\mathbf {r} +\mathbf {V} t$$ 相对速度 $$\mathbf {v} '=\mathbf {v} +\mathbf {V}$$ 等效加速度 $$\mathbf {a} '=\mathbf {a}$$	相对加速度 $$\mathbf {a} '=\mathbf {a} +\mathbf {A}$$ 假想力 $$\mathbf {F} '=\mathbf {F} -\mathbf {F} _{\mathrm {app} }$$
转动 Ω = 两个惯性坐标系F和F'之间的相对定角速度 Λ = 两个加速坐标系F和F'之间的相对（变）角加速度	相对角位置 $$\theta '=\theta +\Omega t$$ 相对速度 $${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\Omega }}$$ 等效加速度 $${\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}$$	相对加速度 $${\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\Lambda }}$$ 假想力矩 $${\boldsymbol {\tau }}'={\boldsymbol {\tau }}-{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {app} }$$
	将向量T转换到旋转座标系 $${\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} '}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} }{{\rm {d}}t}}-{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {T}$$

机械谐振子

运动方程

物理情况	术语	平移方程	角方程
简谐运动 （SHM）	x = 横向位移 θ = 角位移 A =横向振幅 Θ = 角振幅	$${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}x$$ 解： $$x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$$	$${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}\theta$$ 解： $$\theta =\Theta \sin \left(\omega t+\phi \right)$$
非受迫阻尼振动	b = 阻尼常数 κ = 扭转常数	$${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}x=0$$ 解（见下文ω）： $$x=Ae^{-bt/2m}\cos \left(\omega '\right)$$ 谐振频率： $$\omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {b}{4m}}\right)^{2}}}$$ 阻尼率： $$\gamma =b/m$$ 激发的预期寿命（Expected lifetime of excitation）： $$\tau =1/\gamma$$	$${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}\theta =0$$ 解： $$\theta =\Theta e^{-\kappa t/2m}\cos \left(\omega \right)$$ 谐振频率： $$\omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {\kappa }{4m}}\right)^{2}}}$$ 阻尼率： $$\gamma =\kappa /m$$ 激发的预期寿命（Expected lifetime of excitation）： $$\tau =1/\gamma$$

角频率

物理情况	术语	方程
线性无阻尼非受迫简谐振子	k = 弹簧常数 m = 钟摆质量	$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$
线性非受迫阻尼谐振子	k = 弹簧常数 b = 阻尼系数	$\omega '={\sqrt {{\frac {k}{m}}-\left({\frac {b}{2m}}\right)^{2}}}$
低振幅角简谐振子	I = 相对摆动轴转动惯量 κ = 扭转常数	$\omega ={\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}$
低振幅单摆	L = 摆锤长度 g = 重力加速度 Θ = 角振幅	近似值 $$\omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}$$ 精确值可以表示成： $$\omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\prod _{n=1}^{k}\left(2n-1\right)}{\prod _{n=1}^{m}\left(2n\right)}}\sin ^{2n}\Theta \right]$$

机械振荡的能量

物理情况	术语	方程
简谐运动能量	T = 动能 U = 势能 E = 总能量	势能： $$U={\frac {m}{2}}\left(x\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\cos ^{2}(\omega t+\phi )$$ 在x = A处的最大值： $$U_{\mathrm {max} }{\frac {m}{2}}\left(\omega A\right)^{2}$$ 动能： $$T={\frac {\omega ^{2}m}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\sin ^{2}\left(\omega t+\phi \right)$$ 总能量： $$E=T+U$$
阻尼谐振子能源		$E={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}e^{-bt/m}$

相关条目

• 物理方程列表
• 定义方程 (物理化学)
• 本构关系
• 力学
• 光学
• 电磁学
• 热力学
• 声学
• 艾萨克·牛顿
• 波理论方程列表
• 相对论方程列表
• 流体力学方程列表
• 重力论方程列表
• 电磁学方程列表
• 光学方程列表
• 量子力学方程列表
• 核物理及粒子物理方程列表

参考资料

• Arnold, Vladimir I., Mathematical Methods of Classical Mechanics 2nd, Springer, 1989, ISBN 978-0-387-96890-2  含有内容需登入查看的页面 (link)
• Berkshire, Frank H.; Kibble, T. W. B., Classical Mechanics (Kibble and Berkshire) 5th, Imperial College Press, 2004, ISBN 978-1-86094-435-2 
• Mayer, Meinhard E.; Sussman, Gerard J.; Wisdom, Jack, Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press, 2001, ISBN 978-0-262-19455-6